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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die Matrix A [mm] \in K^{n \times n}zu [/mm] einer oberen Dreiecksmatrix in [mm] K^{n \times n} [/mm] ähnlich ist:
a) A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1} [/mm] und K= [mm] \IR,
[/mm]
b) A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0} [/mm] und K= [mm] \IQ. [/mm] |
Hallo zusammen,
morgen muss ich mal wieder das Übungsblatt abgeben, und hänge bei den letzten Resten. Wäre toll wenn mir einer helfen kann.
Nach einem Satz aus der Vorlesung sind zwei Matrizen ähnlich, wenn es eine Basis des [mm] K^{n} [/mm] gibt, bezüglich welcher B den Endomorphismus [mm] l_{a}: K^{n}-->K^{n}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax darstellt.
Ich wollte also die Eigenwerte der Martix ausrechnen, dann die zugehörigen Eigenvektoren, und so die Abblildungsmatrix x [mm] \mapsto [/mm] Ax darstellen.
Aber so klappt das nicht.
Die Eigenwerte zu a) sind 1, [mm] \wurzel{2}, [/mm] - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
und zu b) 3, [mm] \wurzel{2}, [/mm] - [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Hier stimmt was nicht.
Was hat es mit der oberen Dreiecksmatrix auf sich? Wenn man sagt, das bei ähnlichen Matrizen das charakteristische Polynom gleich sein muss, dann geht das schonmal gar nicht, weil das CP bei a) und b) eine Summe ist, und bei einer Dreiecksmatrix doch nur ein Produkt.
Ich verrenne mich in meinen Gedanken.
Bitte helft mir. Wie ist hier die richtige Vorgehensweise?
Danke für eure Hilfe.
Viele Grüße,
Sara
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sara!
> Entscheiden Sie, ob die Matrix A [mm]\in K^{n \times n}zu[/mm] einer
> oberen Dreiecksmatrix in [mm]K^{n \times n}[/mm] ähnlich ist:
>
> a) A= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1}[/mm] und K=
> [mm]\IR,[/mm]
>
> b) A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0}[/mm] und K=
> [mm]\IQ.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> morgen muss ich mal wieder das Übungsblatt abgeben, und
> hänge bei den letzten Resten. Wäre toll wenn mir einer
> helfen kann.
>
> Nach einem Satz aus der Vorlesung sind zwei Matrizen
> ähnlich, wenn es eine Basis des [mm]K^{n}[/mm] gibt, bezüglich
> welcher B den Endomorphismus [mm]l_{a}: K^{n}-->K^{n},[/mm] x
> [mm]\mapsto[/mm] Ax darstellt.
>
> Ich wollte also die Eigenwerte der Martix ausrechnen, dann
> die zugehörigen Eigenvektoren, und so die Abblildungsmatrix
> x [mm]\mapsto[/mm] Ax darstellen.
Das ist eine gute Idee.
> Aber so klappt das nicht.
>
> Die Eigenwerte zu a) sind 1, [mm]\wurzel{2},[/mm] - [mm]\wurzel{2}[/mm]
> und zu b) 3, [mm]\wurzel{2},[/mm] - [mm]\wurzel{2}.[/mm]
>
> Hier stimmt was nicht.
Was stimmt denn nicht? Du solltest vielleicht etwas konkreter werden.
> Was hat es mit der oberen Dreiecksmatrix auf sich? Wenn man
> sagt, das bei ähnlichen Matrizen das charakteristische
> Polynom gleich sein muss, dann geht das schonmal gar nicht,
> weil das CP bei a) und b) eine Summe ist, und bei einer
> Dreiecksmatrix doch nur ein Produkt.
Das charakteristische Polynom einer Dreiecksmatrix zerfaellt in Linearfaktoren, sprich: man kann es als Produkt schreiben. Und wenn du z.B. wie bei a) drei verschiedene Eigenwerte hast, kannst du das char. Poly. dort ebenfalls als Produkt von drei Linearfaktoren schreiben -- naemlich $t - 1$, $t - [mm] \sqrt{2}$ [/mm] und $t + [mm] \sqrt{2}$.
[/mm]
Das Vorgehen ist so schon richtig. Finde so viele l.u. Eigenvektoren wie moeglich (bei a) sind es drei).
Das Problem in (b) ist nun, dass du keine rationalen Eigenwerte hast (denk dran dass du hier ueber [mm] $\IQ$ [/mm] arbeitest und [mm] $\sqrt{2} \not\in \IQ$!). [/mm] Das ist schlecht. Dies bedeutet, dass das char. Poly. nicht vollstaendig in Linearfaktoren zerfaellt, womit du keine obere Dreiecksmatrix erreichen kannst.
Wenn du etwas mehr Einblick haben willst, ueberleg dir doch mal was passiert, wenn einer der Basisvektoren bzgl. der du $A$ darstellen willst ein Eigenvektor von $A$ ist. Wie sieht dann die entsprechende Spalte der Darstellungsmatrix aus?
LG Felix
PS: Eine Matrix laesst sich genau dann als obere Dreiecksmatrix darstellen (der Prozess nennt sich auch trigonalisieren), wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfaellt (und zwar ueber dem Koerper ueber dem man arbeiten moechte!).
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort. Hab heute schon die Lösung mit den andewren Verglichen, und gemerkt, das ich nur ein bisschen ungenau war.
Aber eine Frage ist mir heute noch eingefallen:
Das Chrarakteristische Polynom einer Dreicksmatrix ist doch einfach das Produkt der Summe der Elemente in der Hauptdiagonalen.
Würde es reichen zu zeigen, das das charateristische Polynom meiner beiden Matrizen in beiden Fällen eine Summe ist, und nie ein einzelnes Produkt? Somit kann man nie erreichen, das es ein charateristisches Polynom einer Dreicksmatrix gibt, das gleich denen der beiden gegebenen Matrizen ist.
Danke, Viele Grüße,
Sara
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> Aber eine Frage ist mir heute noch eingefallen:
>
> Das Chrarakteristische Polynom einer Dreicksmatrix ist doch
> einfach das Produkt der Summe der Elemente in der
> Hauptdiagonalen.
Du meinst wahrscheinlich das Richtige. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.
> Würde es reichen zu zeigen, das das charateristische
> Polynom meiner beiden Matrizen in beiden Fällen eine Summe
> ist, und nie ein einzelnes Produkt? Somit kann man nie
> erreichen, das es ein charateristisches Polynom einer
> Dreicksmatrix gibt, das gleich denen der beiden gegebenen
> Matrizen ist.
Nach dieser Begründung wäre doch keine Matrix ähnlich zu einer Dreiecksmatrix. Das Charakteristische Polynom ist wie der Name sagt ein Polynom und deswegen eindeutig durch seine Nullstellen bestimmt. Bei einer Dreiecksmatrix bekommst du das CP einfach schon in Linearfaktoren.
Was du machen kannst ist folgendes: Deine Matrix im Fall b) hat die EW [mm] 3,\sqrt{2} [/mm] und [mm] -\sqrt{2}. [/mm] Angenommen A ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix D, dann sind auch die CPs gleich, also [mm] CP_D(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-\sqrt{2})(\lambda+\sqrt{2}) \Rightarrow [/mm] auf der Diagonalen von D stehen die EW [mm] \Rightarrow [/mm] D [mm] \not\in{\IQ}^{3,3}, [/mm] da [mm] \sqrt{2}\not\in\IQ.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mo 29.05.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
ich habe die Lamdas in der Diagonalen vergessen.
Jetzt ist alles klar, vielen Dank!
Viele Grüße,
Sara
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