adjungiert, komplex konjugiert < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 27.11.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Wir haben Wignerfunktion gegeben (für reinen Zustand):
[mm] W=\integral{\mu\*(x-\bruch{y}{2})\mu(x+\bruch{y}{2}) e^{-ipy/h} dy}
[/mm]
Überzeugen Sie sich davon, dass sie reell ist. |
(Stern heisst - adjungiert)
Am Anfang habe ich das so gemacht:
Ich muss zeigen, dass [mm] W=W\*, [/mm] also
[mm] W\* [/mm] = [mm] \integral{\mu\*(x+\bruch{y}{2})\mu(x-\bruch{y}{2})\ e^{ipy/h} dy}
[/mm]
Mit dem Ansatz -y=z:
[mm] W\* [/mm] = [mm] -\integral{\mu\*(x-\bruch{z}{2})\mu(x+\bruch{z}{2})\ e^{-ipz/h} dz}
[/mm]
=-W
Also für mich ist W rein imaginär (weil [mm] \bruch{dz}{dy} [/mm] = -1).
Ich habe außerdem folgende Fragen:
[mm] \mu(x-\bruch{z}{2}) [/mm] lässt sich eigentlich in bra-ket Schreibweise als Skalarprodukt darstellen, also [mm] \mu\*(x-\bruch{z}{2}) \in \IC [/mm] (?). Warum schreibt man also [mm] \mu\*(x-\bruch{z}{2}) [/mm] und nicht [mm] \overline{\mu(x-\bruch{z}{2})}? [/mm] (Ich habe das erst jetzt bemerkt, obwohl ich weiss, dass so man fast immer in Quantenphysik schreibt)?
Wenn ich [mm] W=W\* [/mm] zeige, zeige ich eigentlich: [mm] W=\overline{W^{T}}, [/mm] ist das aber immer äquivalent damit, dass W reell? Vielleicht ist W Diagonalmatrix?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir haben Wignerfunktion gegeben (für reinen Zustand):
> [mm]W=\integral{\mu\*(x-\bruch{y}{2})\mu(x+\bruch{y}{2}) e^{-ipy/h} dy}[/mm]
>
> Überzeugen Sie sich davon, dass sie reell ist.
>
> (Stern heisst - adjungiert)
> Am Anfang habe ich das so gemacht:
> Ich muss zeigen, dass [mm]W=W\*,[/mm] also
> [mm]W\*[/mm] = [mm]\integral{\mu\*(x+\bruch{y}{2})\mu(x-\bruch{y}{2})\ e^{ipy/h} dy}[/mm]
>
> Mit dem Ansatz -y=z:
> [mm]W\*[/mm] = [mm]-\integral{\mu\*(x-\bruch{z}{2})\mu(x+\bruch{z}{2})\ e^{-ipz/h} dz} =-W[/mm]
> Also für mich ist W rein imaginär (weil [mm]\bruch{dz}{dy}[/mm] =
> -1).
Du hast vergessen, die Grenzen des Integrals zu berücksichtigen: Nach der Substitution ist die untere Grenze [mm] $+\infty$, [/mm] die obere [mm] $-\infty$, [/mm] und wenn du die beiden vertauschst, bekommst du noch ein Minuszeichen.
> Ich habe außerdem folgende Fragen:
> [mm]\mu(x-\bruch{z}{2})[/mm] lässt sich eigentlich in bra-ket
> Schreibweise als Skalarprodukt darstellen, also
> [mm]\mu\*(x-\bruch{z}{2}) \in \IC[/mm] (?).
So wie ich die Definition von W hier verstehe, ist [mm] $\mu$ [/mm] eine Wellenfunktion für den reinen Zustand. Was meinst du mit der bra-ket Schreibweise?
Warum schreibt man also
> [mm]\mu\*(x-\bruch{z}{2})[/mm] und nicht
> [mm]\overline{\mu(x-\bruch{z}{2})}?[/mm] (Ich habe das erst jetzt
> bemerkt, obwohl ich weiss, dass so man fast immer in
> Quantenphysik schreibt)?
> Wenn ich [mm]W=W\*[/mm] zeige, zeige ich eigentlich:
> [mm]W=\overline{W^{T}},[/mm] ist das aber immer äquivalent damit,
> dass W reell? Vielleicht ist W Diagonalmatrix?
Die Wignerfunktion ist kein Operator, sondern eine Funktion im Phasenraum, also eine Funktion, die jedem Punkt (x,p) im Phasenraum eine (reelle) Zahl zuordnet.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 28.11.2010 | | Autor: | waruna |
> Hallo!
>
> > Wir haben Wignerfunktion gegeben (für reinen Zustand):
> > [mm]W=\integral{\mu\*(x-\bruch{y}{2})\mu(x+\bruch{y}{2}) e^{-ipy/h} dy}[/mm]
>
> >
> > Überzeugen Sie sich davon, dass sie reell ist.
> >
> > (Stern heisst - adjungiert)
> > Am Anfang habe ich das so gemacht:
> > Ich muss zeigen, dass [mm]W=W\*,[/mm] also
> > [mm]W\*[/mm] =
> [mm]\integral{\mu\*(x+\bruch{y}{2})\mu(x-\bruch{y}{2})\ e^{ipy/h} dy}[/mm]
>
> >
> > Mit dem Ansatz -y=z:
> > [mm]W\*[/mm] =
> [mm]-\integral{\mu\*(x-\bruch{z}{2})\mu(x+\bruch{z}{2})\ e^{-ipz/h} dz} =-W[/mm]
>
> > Also für mich ist W rein imaginär (weil [mm]\bruch{dz}{dy}[/mm] =
> > -1).
>
> Du hast vergessen, die Grenzen des Integrals zu
> berücksichtigen: Nach der Substitution ist die untere
> Grenze [mm]+\infty[/mm], die obere [mm]-\infty[/mm], und wenn du die beiden
> vertauschst, bekommst du noch ein Minuszeichen.
>
Na klar... :)
> > Ich habe außerdem folgende Fragen:
> > [mm]\mu(x-\bruch{z}{2})[/mm] lässt sich eigentlich in bra-ket
> > Schreibweise als Skalarprodukt darstellen, also
> > [mm]\mu\*(x-\bruch{z}{2}) \in \IC[/mm] (?).
>
> So wie ich die Definition von W hier verstehe, ist [mm]\mu[/mm] eine
> Wellenfunktion für den reinen Zustand. Was meinst du mit
> der bra-ket Schreibweise?
>
Eine Wellenfunktion lässt sich darstellen als:
[mm] \mu(x)=
[/mm]
(Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Bra-Ket#Darstellungen_in_der_Quantenmechanik)
Ist die Wellenfunktion eine Abbildung: [mm] \IC^{n} \to \IC [/mm] ?
Wenn ja: Es macht keinen Sinn zu scheiben [mm] \mu\* [/mm] ?
(Bildet man Adjungierte von einer Zahl?)
Und W kann nicht eine Funktion sein...
> Warum schreibt man also
> > [mm]\mu\*(x-\bruch{z}{2})[/mm] und nicht
> > [mm]\overline{\mu(x-\bruch{z}{2})}?[/mm] (Ich habe das erst jetzt
> > bemerkt, obwohl ich weiss, dass so man fast immer in
> > Quantenphysik schreibt)?
> > Wenn ich [mm]W=W\*[/mm] zeige, zeige ich eigentlich:
> > [mm]W=\overline{W^{T}},[/mm] ist das aber immer äquivalent damit,
> > dass W reell? Vielleicht ist W Diagonalmatrix?
>
> Die Wignerfunktion ist kein Operator, sondern eine Funktion
> im Phasenraum, also eine Funktion, die jedem Punkt (x,p) im
> Phasenraum eine (reelle) Zahl zuordnet.
>
Und dann wie kann man schreiben:
[mm] W\* [/mm] ?
(oder kann man nicht?)
> Viele Grüße
> Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Wir haben Wignerfunktion gegeben (für reinen Zustand):
> > > [mm]W=\integral{\mu\*(x-\bruch{y}{2})\mu(x+\bruch{y}{2}) e^{-ipy/h} dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Überzeugen Sie sich davon, dass sie reell ist.
> > >
> > > (Stern heisst - adjungiert)
> > > Am Anfang habe ich das so gemacht:
> > > Ich muss zeigen, dass [mm]W=W\*,[/mm] also
> > > [mm]W\*[/mm] =
> > [mm]\integral{\mu\*(x+\bruch{y}{2})\mu(x-\bruch{y}{2})\ e^{ipy/h} dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Mit dem Ansatz -y=z:
> > > [mm]W\*[/mm] =
> > [mm]-\integral{\mu\*(x-\bruch{z}{2})\mu(x+\bruch{z}{2})\ e^{-ipz/h} dz} =-W[/mm]
>
> >
> > > Also für mich ist W rein imaginär (weil [mm]\bruch{dz}{dy}[/mm] =
> > > -1).
> >
> > Du hast vergessen, die Grenzen des Integrals zu
> > berücksichtigen: Nach der Substitution ist die untere
> > Grenze [mm]+\infty[/mm], die obere [mm]-\infty[/mm], und wenn du die beiden
> > vertauschst, bekommst du noch ein Minuszeichen.
> >
> Na klar... :)
> > > Ich habe außerdem folgende Fragen:
> > > [mm]\mu(x-\bruch{z}{2})[/mm] lässt sich eigentlich in
> bra-ket
> > > Schreibweise als Skalarprodukt darstellen, also
> > > [mm]\mu\*(x-\bruch{z}{2}) \in \IC[/mm] (?).
> >
> > So wie ich die Definition von W hier verstehe, ist [mm]\mu[/mm] eine
> > Wellenfunktion für den reinen Zustand. Was meinst du mit
> > der bra-ket Schreibweise?
> >
> Eine Wellenfunktion lässt sich darstellen als:
> [mm]\mu(x)= [/mm]
> (Wiki:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Bra-Ket#Darstellungen_in_der_Quantenmechanik)
> Ist die Wellenfunktion eine Abbildung: [mm]\IC^{n} \to \IC[/mm] ?
Eine Abbildung von [mm] $\IR^3 \to \IC$, [/mm] wenn die Wellenfunktion als Funktion des Ortes oder des Impulses geschrieben wird.
> Wenn ja: Es macht keinen Sinn zu scheiben [mm]\mu\*[/mm] ?
> (Bildet man Adjungierte von einer Zahl?)
> Und W kann nicht eine Funktion sein...
> > Warum schreibt man also
> > > [mm]\mu\*(x-\bruch{z}{2})[/mm] und nicht
> > > [mm]\overline{\mu(x-\bruch{z}{2})}?[/mm] (Ich habe das erst jetzt
> > > bemerkt, obwohl ich weiss, dass so man fast immer in
> > > Quantenphysik schreibt)?
Ah, jetzt verstehe ich dein Problem. Es ist nur eine Konvention: es gibt beide Schreibweisen für die konjugiert komplexe Funktion, sowohl [mm] $\overline{\mu}$ [/mm] wie auch [mm] $\mu^\ast$. [/mm] Die Mathematiker benutzen eher [mm] $\overline{\mu}$, [/mm] die Physiker und Ingenieure eher [mm] $\mu^\ast$. [/mm] Du hast natürlich recht, dass man das mit [mm] $A^\ast$ [/mm] für die Adjungierte einer Matrix verwechseln kann.
Viele Grüße
Rainer
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