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| Aufgabe | berechne den abstand d des punktes P(0/5/6) von der gerade
[mm] g:\vec{x}= [/mm] (2/0/1) [mm] +\lambda [/mm] (-4/1/1) |
hallo zusammen,
ich hab mal in der formelsammlung nachgeguckt und da steht folgende formel:
gegeben:
(alles vektoren also mit pfeil)
wenn gegeben: [mm] x_{1} [/mm] und [mm] \vec{x}=x_{1}x_{0}+t\vec{a}
[/mm]
dann:
1) lotfußpunkt F ist gegeben durch
[mm] t_{F}= (x_{1}- x_{0} )*\vec{a} [/mm] : [mm] \vec{a}*\vec{a}
[/mm]
so jetzt :
[mm] \vec{a} [/mm] =(-4/1/1) ; [mm] \vec{1} [/mm] = (0/5/6) ; [mm] x_{0}= [/mm] (2/0/1)
nun hab ich alles eingesetzt:
also [mm] t_{F}= [/mm] ( (0/5/6) - (2/0/1)) * (-4/1/1) / (-4/1/1)*(-4/1/1)
= (-2/5/5) *(-4/1/1) / (16/1/1)
= (8/5/5) / (16/1/1)
hmm hier bin ich mir unsicher soll ich erstmal die zahlen in den brüchen miteinander addieren oder
einzeln dividieren sprich: 8/16 +5/1 +5/1 ????
ach ja der schritt um dann den tatsächlichen abstand zu berechnen ist laut formelsammlung:
d= l [mm] (x_{1} -x_{F} [/mm] l
aber ich wollt erstmal wissen ob meine erster schritt überhaupt stimmt!
danke für eure mühe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mo 16.04.2007 | | Autor: | MarinaS |
Also, ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst.
Um den Abstand von einer Gerade und einem Punkt zu bestimmen, kann man am besten mit einer Hilfsebene rechnen, die senkrecht zur Geraden g ist (Sie hat also den Richtungsvektor von g als Normalvektor) und durch den Punkt P geht.
Die Normalform der Ebenengleichung lautet dann:
E: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 6} [/mm] ] [mm] \circ \vektor{-4 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0
Nun bestimmt man einfach den Schnittpunkt der Geraden g und der Ebene E.
[ [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-4 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 6} [/mm] ] [mm] \circ \vektor{-4 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0
Jetzt muss man die Gleichung einfach auflösen und nach [mm] \lambda [/mm] umstellen:
[ [mm] \vektor{2 \\ -5 \\ -5} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-4 \\ 1 \\ 1} [/mm] ] [mm] \circ \vektor{-4 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0
-4 * ( 2 - 4 [mm] \lambda [/mm] ) + ( -5 + [mm] \lambda [/mm] ) + ( -5 + [mm] \lambda [/mm] ) = 0
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 1
Nun muss man [mm] \lambda [/mm] = 1 in die Geradengleichung von g einsetzten, dann erhällt man den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene:
Der Punkt lauftet dann S ( -2 / 1 / 2 )
Wenn man jetzt noch die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] bestimmt, weiß man den Abstand der Geraden g von dem Punkt P:
[mm] |\overrightarrow{PS}| [/mm] = | [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OP}|
[/mm]
= | [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 6} [/mm] | = | [mm] \vektor{-2 \\ -4 \\ -4} [/mm] |
= [mm] |\wurzel{2^{2} + 4^{2} + 4^{2}} [/mm] | = | [mm] \wurzel{36} [/mm] | = 6
Als Ergebniss erhällt man also: der Abstand der Punktes P von der Geraden g beträgt 6 LE.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Mo 16.04.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Bei deiner Rechnung bin ich mir nicht sicher, wir haben das anders gerechnet und ich glaube auch, dass dieser Weg schneller und einfacher ist. Das Lambda bezeichne ich einfach mal als a, dann lässt sich das schneller schreiben.
Du suchst dir den so gennanten Lotfußpunkt F. Dieser liegt auf der Geraden g. Der Abstand von P zu F entspricht dem von P zu g.
Da man nicht genau weiß wo der Punkt F liegt gibt man seine Koordinaten allgemein an. Da man weiß, dass F auf g liegt kann man sagen: F(2-4a / a / 1+a)
Nun denkt man sich eine Gerade durch die Punkte P und F. Dieser hat den Richtungsvektor [mm] \vec [/mm] PF und dieser muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden g sein (dies wird überprüft mit dem Skalarprodukt)
[mm] \vec PF=\begin{pmatrix} 2-4a \\ -5+a \\ -5+a \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 2-4a \\ -5+a \\ -5+a \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}=0
[/mm]
daraus ergibt sich a=1 und mit der Information können wir F angeben=> F (-2 /1 / 2)
Dann den Betrag des Vektors [mm] \vec [/mm] PF ausrechnen. Ich habe dann für den Abstand 6 raus.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
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Hallo,
benutz keine auswenidg gelernten Formeln...die wirste morgen sowieso alle durcheinander bringen.
Bei uns haben wir das auch wie O Neill berechnet. Das ist meiner Meinung nach die schnellste und einfachste Variante.
Benutz einfach das. 
Liebe Grüße
Andreas
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