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hallo!!!
Mein Lehrer hat uns eine Aufgabe vorgerechnet, bei dem er den Abstand d von P zu E berechnet hat. Ich kann seine Rechnung nicht nachvollziehen. kann mir jmd helfen??
d(p:E)
E:2*x1-2*x2+x3=1
P(-6,5,5,)
Gleichung der Ebene:
2*x1-2*x2+x3=nVektor*0XVektor=1
Meine erste Frage: Wie kommt mein Lehrer auf nVektor*0XVektor???
Parameterdarstellung der Ebennormalen durch P:
0XVektor+l*nVektor-0PVektor=0
-->0XVektor=0PVektor-l*nVektor
-6 2
= 5 - l*-2
5 1
und nVektor*0XVektor=1 --> nVektor*(0PVektor-l*nVektor)=1
nun hat er l so bestimmt:
l*(nVektor*nVektor)=1-nVektor*0PVektor
Wie kommt er auf diese berechnung von l?? wie berechnet man überhaupt l?? ich habs mit gleichsetzung versucht und ich hab nicht dasselbe raus wie er....
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> hallo!!!
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> Mein Lehrer hat uns eine Aufgabe vorgerechnet, bei dem er
> den Abstand d von P zu E berechnet hat. Ich kann seine
> Rechnung nicht nachvollziehen. kann mir jmd helfen??
Hallo,
verwende bitte in Zukunft den Formeleditor unterhalb des Eingabefensters, man kann dann alles viel besser und schneller verstehen und beantworten.
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> d(p:E)
> E:2*x1-2*x2+x3=1
> P(-6,5,5,)
Gegeben hast Du also eine Ebene E und einen Punkt P, dessen Abstand d zur Ebene berechnet werden soll.
Der Plan Deines Lehrers
1) Aufstellen der Ebenengleichung in Normalenform
2)Aufstellen der Gleichung der Geraden g, welche senkrecht zu E durch den Punkt P läuft.
3)Berechnen des Schnittpunktes S zwischen Gerade g und Ebene E
4)Berechnung der "Länge" des Vektors [mm] \overrightarrow{SP}. [/mm] Diese Länge ist der gesuchte Abstand d.
1)
> Gleichung der Ebene:
> 2*x1-2*x2+x3=nVektor*0XVektor=1
>
> Meine erste Frage: Wie kommt mein Lehrer auf
> nVektor*0XVektor???
Dein Lehrer stellt hier die Normalenform der Ebenengleichung auf.
Es ist doch [mm] 1=2x_1-2x_2+x_3= \vektor{2 \\ -2 \\ 1}* \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3 } [/mm] (Skalarprodukt)
Den ersten Vektor nennt er [mm] \vec{n}, [/mm] weil es der Normalenvektor von E ist, der Vektor, der auf E senkrecht steht, der zweite ist der Vektor [mm] \overrightarrow{0X}, [/mm] wenn wir mit X den Punkt [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] bezeichnen.
Also ist die Gleichung von E mit diesen Abkürzungen [mm] \vec{n}*\overrightarrow{0X}=1.
[/mm]
2) Nun kommt die Parameterform der Geradengleichung für die Gerade durch P in Richtung [mm] \vec{n}:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{0X}= \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3 } =\overrightarrow{0P}+l \vec{n}, l\in \IR.
[/mm]
= [mm] \vektor{-6 \\ 5 \\ 5 }+l\vektor{2 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
3) um den Schnittpunkt S zu bestimmen, muß man die beiden Gleichungen ineinander einsetzen und l ausrechnen.
Die Ebenengleichung ist 1= [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1}* \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3 } [/mm] ,
die Geradengleichung [mm] \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3 }= \vektor{-6 \\ 5 \\ 5 }+l\vektor{2 \\ -2 \\ 1 } [/mm] .
Jetzt wird die Untere Gleichung in die obere eingesetzt, also das [mm] \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3 } [/mm] oben ersetzt.
Man bekommt [mm] 1=\vektor{2\\ -2 \\ 1 }* [/mm] ( [mm] \vektor{-6 \\ 5 \\ 5 }+l\vektor{2 \\ -2 \\ 1 } [/mm] )
[mm] =\vektor{2\\ -2 \\ 1 }* \vektor{-6 \\ 5 \\ 5 }+\vektor{2\\ -2 \\ 1 }*l\vektor{2 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
=-12-10+5+4l+4l+l=-17+9l
==> l=2
Dieses in die Geradengleichung eingesetzt liefert den Schnittpunktvektor [mm] \overrightarrow{0S}=\vektor{- 2 \\ 1 \\ 7 }
[/mm]
>
> nun hat er l so bestimmt:
>
> l*(nVektor*nVektor)=1-nVektor*0PVektor
>
> Wie kommt er auf diese berechnung von l?? wie berechnet man
> überhaupt l?? ich habs mit gleichsetzung versucht und ich
> hab nicht dasselbe raus wie er....
4) Für den gesuchten Abstand d brauchen wir noch den Betrag von [mm] \overrightarrow{0S}=\vektor{- 2 \\ 1 \\ 7 }. [/mm] Es ist d= [mm] \wurzel{(-2)^2+1^2+7^2}= \wurzel{54}
[/mm]
Nun ist man fertig, und ich hoffe, daß ich mich nicht verrechnet habe.
Gruß v. Angela
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