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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 09.09.2007 | | Autor: | jane882 |
Also ich habe mir irgendwelche Ebenengleichungen ausgesucht: Habe gerade aber erst gemerkt, dass sie nicht parallel sind:( Aber gehen wir jetzt einfach mal davon aus...ich will nur wissen ob die vorgehensweise richtig ist:(
E1: ( 1 0 3)+ r* (1 0 0)+ s(1 1 0)
Normalenvektor: x* ( 0 0 1)= 3
E2: (2 3 2)+ r* (0 1 1)+ s*(2 0 1)
Normalenvektor: x* (1 2 -4)= 0
Um jetzt den Abstand bestimmen zu können, muss ich die Hessche Form anwenden oder?
-> 1/ Wurzel 1* x (0 0 1)- 3/ Wurzel 1= 0
1/ Wurzel 21* x ( 1 2 -4)- 0/Wurzel 21= 0
so 3/ Wurzel 1 und 0/Wurzel 21 sind die Abstände der Ebenen zum Koordinatenursprung...d.h. ich könnte sie jetzt subtrahieren, um zum Abstand zu gelangen oder:(
3/ Wurzel 1 - 0/ Wurzel 21= 3-0 = Abstand der Ebenen zueinander beträgt 3.
Bitte sagt,dass das richtig ist
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> Also ich habe mir irgendwelche Ebenengleichungen
> ausgesucht: Habe gerade aber erst gemerkt, dass sie nicht
> parallel sind:( Aber gehen wir jetzt einfach mal davon
> aus...ich will nur wissen ob die vorgehensweise richtig
> ist:(
Hallo,
also über DIESE Ebenen im Zusammenhang mit "Abstand voneinander" sprechen, möchte ich nicht.
Wenn Du dne Abstand paralleler Ebenen wissenmöchtest, kannst Du das machen, indem Du mit der Hesseschen Normalform den jeweiligen Abstand vom Nullpunkt ermittelst. Die Differenz ist dann der Abstand der Ebenen.
Wenn der Nullpunkt zwischen den beiden Ebenen liegt, wird einer der Abstände negativ sein.
Daran, daß Du die Differenz bilden mußt, ändert sich nichts, aber "minus minus gleich plus" beachten.
Gruß v. Angela
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Exakt im Augenblick, als ich heute Morgen die untenstehende Antwort absenden wollte, ist die Software des Forums abgestürzt. Da ich den Text meiner Antwort noch herumliegen habe, sende ich sie auch noch, obwohl Angela ja bereits auf Deine Frage geantwortet hat:
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> Also ich habe mir irgendwelche Ebenengleichungen
> ausgesucht: Habe gerade aber erst gemerkt, dass sie nicht
> parallel sind:( Aber gehen wir jetzt einfach mal davon
> aus...ich will nur wissen ob die vorgehensweise richtig
> ist:(
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> E1: ( 1 0 3)+ r* (1 0 0)+ s(1 1 0)
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> Normalenvektor: x* ( 0 0 1)= 3
Nein, ein (Normalen-)Vektor ist dies nicht, aber es ist die "Normalenform" der Ebenengleichung.
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> E2: (2 3 2)+ r* (0 1 1)+ s*(2 0 1)
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> Normalenvektor: x* (1 2 -4)= 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Diese Normalenform von [mm] $E_2$ [/mm] ist falsch. Müsste statt dessen:
[mm]\vec{x}\cdot\vektor{1\\2\\-2}=4[/mm]
sein.
> Um jetzt den Abstand bestimmen zu können, muss ich die
> Hessche Form anwenden oder?
Ja, gute Idee.
> -> 1/ Wurzel 1* x (0 0 1)- 3/ Wurzel 1= 0
Eigentlich würde diese Hesseform von [mm] $E_1$ [/mm] schon genügen: denn Du könntest nun einfach den Trägerpunkt $(2|3|2)$ von [mm] $E_2$ [/mm] in die Hesseform von [mm] $E_1$ [/mm] einsetzen, um den Abstand von [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] zu berechnen. (Vorausgesetzt, dass [mm] $E_1\parallel E_2$, [/mm] was hier ja leider nicht der Fall ist.)
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> 1/ Wurzel 21* x ( 1 2 -4)- 0/Wurzel 21= 0
Ist falsch, da Normalenform von [mm] $E_2$ [/mm] schon falsch war (wie weiter oben bemerkt). Müsste
[mm]\vec{x}\cdot\frac{1}{3}\vektor{1\\2\\-2}-\frac{4}{3}=0[/mm]
sein.
> so 3/ Wurzel 1 und 0/Wurzel 21 sind die Abstände der Ebenen
> zum Koordinatenursprung...d.h. ich könnte sie jetzt
> subtrahieren, um zum Abstand zu gelangen oder:(
Ja, der Weg wäre in Prinzip richtig, wenngleich unnötig umständlich - und, wie Du selbst bemerkt hast, sind die beiden Ebenen ja gar nicht parallel, so dass auch eine formal richtige Berechnung dieser Art in diesem Speziallfall von [mm] $E_{1,2}$ [/mm] natürlich Müll ist.
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> 3/ Wurzel 1 - 0/ Wurzel 21= 3-0 = Abstand der Ebenen
> zueinander beträgt 3.
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> Bitte sagt,dass das richtig ist
Wie Du selbst bemerkt hast, ist das konkrete Ergebnis für diese beiden Ebenen [mm] $E_{1,2}$ [/mm] natürlich falsch: denn diese nicht-parallelen Ebenen schneiden sich.
Zudem gibt es ein kleines Problem was das Vorzeichen des Abstandes der Ebenen vom Ursprung betrifft: Wie Du sicher weisst, gibt Dir die Hesseform einen vorzeichenbehafteten Abstand des eingesetzten Punktes (bzw. Ortsvektor des Punktes). Welches Vorzeichen die Hesseform für den Abstand des Ursprungs von der Ebene liefert, hängt vom Richtungssinn des Normalenvektors ab. Deshalb kann man nicht einfach gedankenlos die Differenz der von der Hesseform gelieferten vorzeichenbehafteten Abstände beider Ebenen vom Ursprung voneinander subtrahieren: man müsste zuerst noch den Richtungssinn der Normalenvektoren der beiden Ebenen vergleichen.
Besser ist deshalb in jedem Falle, nur die Hesseform von [mm] $E_1$ [/mm] zu bestimmen und mit Hilfe dieser einen Hesseform den (wieder vorzeichenbehafteten) Abstand des Trägerpunktes von [mm] $E_2$ [/mm] von der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] auszurechnen.
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