absoluten Extrema berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)Berechnen sie die asoluten Extrema von [mm] f(x)=x*e^{-x^2/2}
[/mm]
2)Berechnen sie die asoluten Extrema von f(x)= [mm] x^2*e^{-x} [/mm] |
Also zu 1)
[mm] f'(x)=e^{-x^2/2}*(-x^{2}+1)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x^2/2}*(-x^{3}-3x)
[/mm]
zu2)
[mm] f'(x)=e^{-x}*(-x^2+2x)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}*(x^2-4x+2)
[/mm]
jetzt habe ich f'(x) jeweils =0 gesetzt.Weiter komm ich leider nicht,bekomme da irgendwie nichts vernünftiges raus.Hoffe das mir da jemand helfen kann,danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo nochmal ...
Mit der oben beschriebenen Methode erhältst Du lediglich die relativen Extrema.
Für die absoluten Extrema musst du dann noch die Definitionsränder betrachten (bzw. entsprechende Grenzwertbetrachtungen durchführen).
Gruß vom
Roadrunner
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Also ich bekomme dafür x1=1 und für x2=-1 heraus.
Das setzte ich nun in die 2.Ableitung ein.
f´´(1)=-2e hoch -1/2 < 0 HP bei x=1
f´´(-1)=2e hoch -1/2 > 0 TP bei x=-1
Was muss ich denn jetzt noch machen um die "absoluten" Extrema zu berechnen,weiss irgendwie nicht wie ich das machen muss.
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Hallo scientyst!
> Also ich bekomme dafür x1=1 und für x2=-1 heraus.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Das setzte ich nun in die 2.Ableitung ein.
>
> f''(1)=-2e hoch -1/2 < 0 HP bei x=1
>
> f''(-1)=2e hoch -1/2 > 0 TP bei x=-1
> Was muss ich denn jetzt noch machen um die "absoluten"
> Extrema zu berechnen,weiss irgendwie nicht wie ich das
> machen muss.
Zunächst einmal musst du von diesen relativen Extrema die zugehörigen Funktionswerte ermitteln (durch Einsetzen).
Ist hier der Definitiosnbereich eingeschränkt (wie bei Deiner anderen Frage mit konvex/konkav)? Denn da habt Ihr ja lediglich [mm] $\IR^+$ [/mm] betrachtet.
Anderenfalls ist diese Funktion für ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert, und Du musst eine Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] sowie [mm] $x\rightarrow -\infty$ [/mm] durchführen.
Diese beiden Grenzwerte dann mit den Funktionswerten der relativen Extrema vergleichen.
Gruß vom
Roadrunner
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Wo muss ich denn jetzt die Werte einsetzten,irgendwie habe ich gerade ein Brett vorm Kopf und wie gehe ich dann weiter vor??
Der Def.Bereich ist hier auch [mm] \IR+.
[/mm]
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Hallo,
wenn nur [mm] \IR^{+} [/mm] dein Definitionsbereich ist, dann genügt es zunächst mal folg. Grenzwert zu betrachten
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
Und dann vielleicht noch überprüfen, ob z.B. 0 auch Funktionswert ist, wenn du nach Minima schaust. Da könntest du aber auch [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] betrachten!
Du musst hier lediglich herausfinden, ob deine Extrema auch globale Extrema sind, d.h. ist [mm] x_{0} [/mm] dein Maximum, dann ist [mm] x_{0} [/mm] globales Maximum [mm] \gdw f(x_{0})\ge [/mm] f(x) für alle x.
Ein Analogon gilt für Minima.
Und hier noch ein kleiner Tipp, du kannst in beiden Fällen die ![[]](/images/popup.gif) Regeln von de l'Hospital anwenden.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo mathmetzsch!
Für den Grenzwert [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ klappt das aber nicht mit  de l'Hospital, da keiner der beiden Fälle [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] gegeben ist.
Gruß vom
Roadrunner
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Danke,
das war so aber auch nicht gemeint. Mit beide Fälle meinte ich beide Funktionen. Für [mm] x\to0 [/mm] lassen sich die Regeln klar nicht anwenden.
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo scientyst!
Bedenke dann aber, dass [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{-}1$ [/mm] kein Extremwert ist, da dieser Wert außerhalb des genannten Definitionsbereiches [mm] $\IR^+$ [/mm] liegt.
Gruß vom
Roadrunner
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Wie habe ich denn jetzt weiter vorzugehen.Konnte euch irgendwie jetzt nicht ganz folgen.
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Hallo scientyst!
Zunächst haben wir (innerhalb des genannten Definitionsbereiches [mm] $\IR^+$) [/mm] ein relatives Extremum bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ +1$ erhalten.
Dieses haben wir mittels hinreichendem Kriterium als relatives Maximum nachgewiesen.
Nun benötigen wir den Funktionswert an dieser Stelle: [mm] $y_{\max} [/mm] \ = \ [mm] f(x_0) [/mm] \ = \ f(+1) \ = \ ...$
Um nun zu zeigen, dass es sich bei diesem relativen Maximum auch um ein absolutes Maximum handelt, müssen wir die Ränder des Definitionsbereiches untersuchen.
Das heißt also, folgende Grenzwerte müssen bestimmt werden:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*e^{-\bruch{x^2}{2}} [/mm] \ = \ ...$
[mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}x*e^{-\bruch{x^2}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x}{e^{\bruch{1}{2}x^2}} [/mm] \ = \ ...$
Den 2. Grenzwert kannst Du z.B. mit dem Grenzwertsatz nach de l'Hospital ermitteln.
Diese beiden Grenzwerte nun mit [mm] $y_{\max}$ [/mm] vergleichen. Sind die beiden Grenzwerte kleiner, handelt es sich bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ +1$ auch wirklich um ein absolutes Maximum.
Gruß vom
Roadrunner
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Habe jetzt mal versucht es so wie du mir erklärt hast zu errechnen.
[mm] f(x)=x*exp(-x^2/2)
[/mm]
[mm] ymax=f(+1)=1*exp(-1^2/2) [/mm] >0
Dann die Grenzwerte:
[mm] 1)$\limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*e^{-\bruch{x^2}{2}} [/mm] \ = \ [mm] 0*e^0=0
[/mm]
2)Ableitungen:f(x)=x,f'(x)=1,g(x)=e hoch [mm] (-x^2/2),g'(x)=x*e [/mm] hoch [mm] (-x^2/2)
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}x*e^{-\bruch{x^2}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x}{e^{\bruch{1}{2}x^2}} [/mm] \ = [mm] \1/x*e [/mm] hoch [mm] 1/2x^2=0
[/mm]
Ich weiss jetzt nicht ob ich die Grenzwerte so richtig berechnet habe,aber so wie ich es errechnet habe ist x=+1 ein absolutes maximum,oder???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Do 22.12.2005 | | Autor: | scientyst |
Vielen dank für deine Hilfe.
mfg Scientyst
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Welchen Grenzwert muss ich denn jetzt für -1 berechnen???Die gleichen wie für +1 ???
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Hallo scientyst!
Ich denke, wir haben hier den Definitionsbereich [mm] $\IR^{\red{+}}$ [/mm] ...
Dann ist dieser x-Wert doch gar nicht Bestandteil des Defintionsbereiches.
Angenommen, wir betrachteten die Funktion auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] , dann wäre noch der Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow\red{-}\infty}f(x)$ [/mm] (als linker Rand des Definitionsbereiches) zu bestimmen.
Dann sind die beiden Grenzwerte (also für [mm] $x\rightarrow\red{+}\infty$ [/mm] sowie [mm] $x\rightarrow\red{-}\infty$) [/mm] mit dem Funktionswert [mm] $y_{\min} [/mm] \ = \ f(-1)$ zu vergleichen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Fr 23.12.2005 | | Autor: | scientyst |
Stimmt ja,sorry und danke nochmal.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier erhalte ich: [mm]f''(x)=e^{-x^2/2}*\left(\red{+}x^3-3x\right)[/mm]
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null ist.
