absolute konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 26.11.2005 | | Autor: | AriR |
frage wurde in keinem anderen forum gestellt (hoffe ich +g+)
hey leute.. wollte mal fragen, wie man absolute konvergenze wiederlegen kann. es wurde mal gesagt, dass das quotientenkriterium nicht hinreichend ist um abs konvergenz zu widerlegen. wie siehts mit den anderen kriterien aus wie
cauchykriterium
wurzelkriterium
majorantenkriterium etc
wäre nett wenn einer antwortet und wenn er noch zeit hat vieleicht mal etwas genauer zu erwähnen, warum das quotientenkriterium keine hinreichende bedingung ist um abs. konvergenz zu widerlegen.
danke im voraus.. gruß ari
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> hey leute.. wollte mal fragen, wie man absolute konvergenze
> wiederlegen kann.
Hallo,
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert absolut <==> [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] konvergiert <==> die Folge der Partialsummen [mm] s_m:= \summe_{n=1}^{m}|a_n| [/mm] ist beschränkt.
Das bedeutet: wenn die Folge der Partialsummen nicht beschränkt ist, konvergiert die Reihe nicht.
es wurde mal gesagt, dass das
> quotientenkriterium nicht hinreichend ist um abs konvergenz
> zu widerlegen.
Quotientenkriterium erfüllt ==> absolute Konvergenz.
Bzw.: keine absolute Konvergenz ==> Quotientenkriterium nicht erfüllt.
Es gilt aber NICHT
Quotientenkriterium nicht erfüllt ==> keine absolute Konvergenz,
(bzw. abs konvergent ==> Quottientenkriterium gilt NICHT)
DENN
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] erfüllt nicht das Quotientenkriterium, konvergiert aber (absolut).
>wie siehts mit den anderen kriterien aus
Lies sie Dir durch.
Wenn da steht "genau dann, wenn" ist es notwendig und hinreichend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 27.11.2005 | | Autor: | AriR |
jo schonmal vielen danke
zu den anderen kriterien: hab garade nochmal im forster geguckt und da haben die sich geschickt drum rum formuliert. zB Wen ...., dann konvergiert ... usw =(
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> zu den anderen kriterien: hab garade nochmal im forster
> geguckt und da haben die sich geschickt drum rum
> formuliert. zB Wen ...., dann konvergiert ... usw =(
Hallo,
nein, nein, die formulieren nicht geschickt drumherum! "Wenn, ... dann" hat eine genau festgelegte Bedeutung.
"Wenn A, dann B ", das bedeutet "A ==>B". Da ist dann B eine notwendige Bedingung für A. Also: immer, wenn A gilt, gilt zwangsläufig B. Bzw. ohne daß B gilt, kann A nicht gelten.
Wenn, da "wenn, dann ..." steht, ist es i.d.R. vergebliche Mühe, die Umkehrung beweisen zu wollen. Das hätten die dann schon getan. Keine vergebliche Mühe ist es, Beispiele zu suchen (und in passenden Situationen parat zu haben...), welche zeigen, daß die Umkehrung nicht gilt.
Und wenn Du jetzt in Deinem Forster oder irgendeinem anderen Analysisbuch nachguckst (Ist Dein Forster eigentlich auch mein Forster??? Ich habe einen Otto Forster im TB-Format. ), wirst du sehen, daß beim Cauchykriterium "genau dann, wenn " steht.
Das bedeutet: konvergent <==> Cauchy-Bedingung
Das heißt, die Cauchybedingung ist auch hinreichend für Konvergenz, aus der Cauchybedingung folgt Konvergenz. Keine Konvergenz ohne Cauchy und kein Cauchy ohne Konvergenz.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 28.11.2005 | | Autor: | AriR |
erstmal zum forster: Ich habe die Ausgaben 7 vom Vieweg Verlag
ok ich hab mir das mal im buch nochmal angeguckt, heißt das, dass nur folgende Kriteriern in beide richtungen gelten:
1.CauchyKriterium
2.eine monotone beschränkte Folge konvergiert
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> erstmal zum forster: Ich habe die Ausgaben 7 vom Vieweg
> Verlag
Ah, danke, das war nur so aus persönlichem Interesse, völlig unabhängig von Konvergenz.
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> ok ich hab mir das mal im buch nochmal angeguckt, heißt
> das, dass nur folgende Kriteriern in beide richtungen
> gelten:
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> 1.CauchyKriterium
Ja, das taugt für beide Richtungen
> 2.eine monotone beschränkte Folge konvergiert
Huch, sprachen wir nicht über Konvergenzkriterien für Reihen???
O.K., machen wir einen Einschub über Folgen:
> 2.eine monotone beschränkte Folge konvergiert
Das stimmt, aber nur die eine Richtung. Es gibt auch konvergente Folgen, die nicht monoton sind, z.B. [mm] (-1)^n \bruch{1}{n}.
[/mm]
Aber ich glaube, daß Du eigentlich etwas anderes meintest, nämlich dieses hier:
Eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] mit [mm] a_i \ge [/mm] 0 konvergiert genau dann, wenn dieReihe beschränkt ist, d.h. die Folge der Partialsummen monoton wachsend und beschränkt.
Gruß v. Angela
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