absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:12 Sa 02.12.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Man entscheide, ob die folgenden Reihen absolut konvergieren oder divergieren:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{5^n}, [/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{n+1})^{n^2}, [/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)!}, [/mm]
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{\wurzel[n]{n}}. [/mm] |
Hallo!
Ich muss nun doch zeigen, dass die Reihen konvergieren bzw. divergieren und dass sie sogar absolut konvergieren.
Zu a) Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium gegen [mm] \bruch{1}{5}.
[/mm]
Zu b) Reihe konvergiert nach dem Wurzelkriterium.
Zu c) Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium.
Zu d) ich dachte, dass man das Leibnitzkriterium zur Untersuchung der Konvergenz benutzen könnte. Danach findet man ein monoton fallende Nullfolge.
Ist das bis hierher richtig?
Nun zur eigentlichen Frage:
Um zu zeigen, dass die Reihen auch absolut konvergieren, muss ich zeigen, dass [mm] |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{5^n}|, |\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{n+1})^{n^2}|, |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)!}| [/mm] und [mm] |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{\wurzel[n]{n}}| [/mm] konvergieren.
Wie gehe ich da vor? Verwende ich dazu die gleichen Kriterien wie bei der normalen Konvergenz?
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Ist das wirklich eine Nullfolge? Wenn nicht, wäre das notwendige Kriterium für (absolute) Konvergenz nicht erfüllt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 09.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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