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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Für $b, x [mm] \in \IR$ [/mm] sei die Folge [mm] $(a_{n})_{0}^{\infty}$ [/mm] rekursiv definiert durch
[mm] $a_{0} [/mm] = 1$, [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)-b}{(n+1)(n+2)} [/mm] * x * [mm] a_{n}$
[/mm]
a) Für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass die Reihe [mm] $\summe_{i=0}^{\infty} a_{n}$ [/mm] für alle $b [mm] \in \IR$ [/mm] absolut konvergiert?
b) Wie muss man $b$ wählen, damit die Reihe [mm] $\summe_{i=0}^{\infty} a_{n}$ [/mm] für alle $b [mm] \in \IR$ [/mm] absolut konvergiert? |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
zu a)
Also ich dachte ich versuchs mal mit dem Quotientenkriterium:
[mm] |a_{n+1}| [/mm] / [mm] |a_{n}| [/mm] = | ((n(n+1)-b) / ((n+1)(n+2)) * x * [mm] a_{n}) [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] |
= | (n(n+1)-b) / ((n+1)(n+2)) * x | = | (n(n+1)-b) / ((n+1)(n+2))| * |x |
So hier weiß ich nicht so richtig weiter. Dieser Ausdruck muss ja kleiner sein als ein q [mm] \in \IR [/mm] was wiederum kleiner als 1 ist.
kann ich da vielleicht einfach sagen dass folgendes gelten muss: ???
| (n(n+1)-b) / ((n+1)(n+2))| * |x | < 1
dann würde ja rauskommen:
|x | < | ((n+1)(n+2)) / (n(n+1)-b|
zu b)
kann das sein dass das irgendwie so ähnlich geht?
Danke schonmal, gruß katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
du kannst x nicht durch n angeben. Gesucht sind doch reelle Zahlen x, also ne Aussage wie richtig für alle x mit |x|<0,7 oder ähnliches, d.h. du musst ein x finden das du durch deine n-Formel abschätzen kannst. aber für ALLE b also b=0 b<0 und b>0.
bei b) muss wohl am Ende stehen für alle x aus [mm] \IR, [/mm] da reicht der Aufgabe nach ein b, evt meint sie aber auch wieder einen Bereich für b, es ist auch unklar, ob b von n abhängig sien darf also etwa b [mm] =-n^{3}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Ich hab mir sowas schon gedacht. Aber wie mach ich das denn z.b. bei dem Aufgabenteil a? Das mit dem quotientenkriterium war doch aber nicht falsch, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Sa 17.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Kati
Wenn du das Quotientenkriterium verwendest (was eine gute Idee ist), dann erhälst du:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n(n+1)-b}{(n+1)(n+2)}x=\underbrace{\frac{(1+\frac 1n)-\frac{b}{n^2}}{(1+\frac 1n)(1+\frac 2n)}}_{\to 1\ \ (n\to\infty)}x$.
[/mm]
Daraus sieht man, dass für $|x|<1$ der Grenzwert [mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$ [/mm] ist.
Deshalb konvergiert die Reihe für $|x|<1$ absolut und divergiert für $|x|>1$.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
Ah, okay, soweit leuchtet mir das ein. Wenn ich n -> [mm] \infty [/mm] laufen lasse müsste das stimmen, aber wenn ich mir jetzt z. B. den Fall anschaue n=1 und b=-10 , da käm doch dann raus [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] =12/6=2 . Da würde es doch jetzt garnicht stimmen dass [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] <1 für |x |< 1 ?
Und jetzt hätte ich auch nochmal ne Frage zum aufgabenteil b. hab da auch mal mit dem Quotientenkriterium angefangen und komm ach wieder nur so weit wie bei der a am anfang:
[mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] = | (n(n+1)-b))/((n+2)(n+1)) | |x |
Diese gleichung müsste ich doch jetzt irgendwie nach b umstellen und dann auch irgendwie wieder n-> [mm] \infty [/mm] laufen lassen, oder? wie müsste ich denn dann weiter machen?
Gruß Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
Es ist wichtig zu wissen, dass es auf den Anfang der Reihe für die Konvergenz nicht ankommt. Du musst immer realisieren, dass die ersten paar milliarden oder so Summanden ja auf jeden Fall ne endliche Summe geben, also für die Konvergenz KEINERolle spielen. Das Quotientenkriterium sagt, es gibt ein N, so dass für alle n>N gilt...!
Deshalb spielt dein n=1 oder sonst ne kleine Zahl keine Rolle.
Bei b) musst du wirklich b so bestimmen, dass für ALLE endlichen x die Reihe konvergiert. Am besten wieder mit dem Quotientenkriterium. Aber denk dran, dass der Anfang der Reihe keine Rolle spielt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 18.12.2005 | | Autor: | Kati |
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Hallo!
Ich hab nochmal eine Frage zum Aufgabenteil b. Kann das vielleicht sein, dass diese Reihe gar nicht für alle x [mm] \in [/mm] R absolut konvergieren kann? Egal was ich mache mit dem Quotientenkriterium, ich komm immer darauf, dass |x | < 1 sein muss...
Mach ich da irgendwas falsch?
Gruß Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 So 18.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Katrin
> Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum
> gestellt.
Den Satz brauchst du höchstens im 1. posting
> Ich hab nochmal eine Frage zum Aufgabenteil b. Kann das
> vielleicht sein, dass diese Reihe gar nicht für alle x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> R absolut konvergieren kann? Egal was ich mache mit dem
> Quotientenkriterium, ich komm immer darauf, dass |x | < 1
> sein muss...
> Mach ich da irgendwas falsch?
Ich auf jeden Fall find auch nur feste b für kleine x. Aber die Aufgabe schliueßt in ihrem Wortlaut nicht aus, dass b von n abhängen könnte wie b=-n^|3} oder so was. Ich würd meine Antwort so formulieren, erst für festes b unmöglich für alle x, 2 mit b=b(n)=---
Natürlich ist das keine Garantie ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 So 18.12.2005 | | Autor: | Kati |
Okay, dankeschön, ich werds versuchen ;)
Gruß Kati
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