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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Do 08.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
Hallo liebe community,
ich würde gerne die Funktion [mm] e^\bruch{x^2}{2}+1 [/mm] ableiten.
Natürlich ersteinmal die innere und äußere Funktion heraussuchen
u(x)= [mm] e^x
[/mm]
u'(x)= [mm] e^x
[/mm]
[mm] v(x)=\bruch{x^2}{2}+1
[/mm]
Wie leite ich v ab?
danach weiß ich auch wieder weiter :)
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Hallo DarkJiN,
> Hallo liebe community,
> ich würde gerne die Funktion [mm]e^\bruch{x^2}{2}+1[/mm] ableiten.
>
> Natürlich ersteinmal die innere und äußere Funktion
> heraussuchen
>
> u(x)= [mm]e^x[/mm]
> u'(x)= [mm]e^x[/mm]
>
> [mm]v(x)=\bruch{x^2}{2}+1[/mm]
>
Demnach lautet die gegebene Funktion: [mm]e^{\bruch{x^{2}}{2}+1}[/mm]
> Wie leite ich v ab?
v leitest Du nach der Potenzregel
ab.
> danach weiß ich auch wieder weiter :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Do 08.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
zuersteinmal ahst du recht mit der gegebenen Funktion.
Sie lautet [mm] e^\bruch{x^2}{2} [/mm] +1
(das +1 gehört noch in den Exponent, will aber nicht so recht)
v'(x)= -2 [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo DarkJiN,
> zuersteinmal ahst du recht mit der gegebenen Funktion.
> Sie lautet [mm]e^\bruch{x^2}{2}[/mm] +1
> (das +1 gehört noch in den Exponent, will aber nicht so
> recht)
>
Schreibe die Exponenten in geschweifte Klammern:
e^{\bruch{x^2}{2}+1}
>
> v'(x)= -2 [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
Im Exponenten steht doch vor [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] kein "-".
> Ist das richtig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 08.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
aber da steht doch [mm] e^{\bruch{-x^2}{2}+1}
[/mm]
also praktisch ein -1 vor dem [mm] x^2
[/mm]
und 2*-1=-2 oder?
müsste eigentlich richtig sein.
demnach kettenregel
f'(x)= v'(x)*u'(v(x))
f'(x)= [mm] (-x)*e^{\bruch{x^2}{2}+1}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> aber da steht doch $ [mm] e^{\bruch{-x^2}{2}+1} [/mm] $
Wenn Du Dir Deine vorherigen posts nochmal anschaust, dann wirst Du feststellen, daß das da doch nirgends steht...
> $f'(x)= [mm] (-x)\cdot{}e^{\bruch{x^2}{2}+1} [/mm] $
Hier ist schon wieder kein - vor dem [mm] $x^2$.
[/mm]
Ist es wirklich so schwer, Dir nochmal anzuschauen, was Du schreibst?!
Dein f' ist auf jeden Fall falsch. Entweder ist ein - zu viel, oder eines fehlt.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
tut mir leid. Ich war unterwegs und hab an einem fremden Computer gearbeitet, kam da nicht so ganz klar und war unkonzentriert.
Tut mir Leid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
versuchen wirs mal erneut, mit einer anderen Funktion.
f(x)= [mm] \wurzel{x^2+1}
[/mm]
v(x)= [mm] x^2
[/mm]
[mm] u(x)=\wurzel{x+1}
[/mm]
v'(x)= 2x
Wie ist die Ableitung von u? Die Ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] ist ja [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
bzw
ich weiß nicht wie ich die 1 unter der Wurzel ableiten soll..
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Hallo,
diese Aufteilung der Verkettung bringt dir nichts. Versuche es so:
[mm] v(x)=x^2+1
[/mm]
[mm] u(v)=\wurzel{v}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
danke, kannst du mir eventuell auch erklären wie du auf diese aufteilung gekommen bist? Ich dachte zumindest das hätte ich drauf
außerdem Substituierst du das.
Ich hatte das immer ohne Substitution gelernt. ._.
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Hallo,
> danke, kannst du mir eventuell auch erklären wie du auf
> diese aufteilung gekommen bist?
Gerne: die äußere Funktion ist dann mit der Wurzelfunktion eine elementare Funktion, die innnere ist auch kein wirkliches Problem in Sachen Ableitung. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
okay. Dann meine Lösung
[mm] v(x)=x^2+1
[/mm]
v'(x)=2x
u(v)= [mm] \wurzel{v}
[/mm]
u'(v)= [mm] \bruch{1}{2}*v^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
f'(x)= v'(x)*u'(v(x))
also [mm] 2x*\bruch{1}{2}*((x^2+1)^2)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
richtig..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Fr 09.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht soweit gut aus, beachte aber, für die noch folgende Vereinfachung:
[mm] a^{-\bruch{1}{2}}=\frac{1}{a^{\bruch{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
okay okay, also wenn
$ [mm] a^{-\bruch{1}{2}}=\frac{1}{a^{\bruch{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a}} [/mm] $
würde das ja bedeuten
u'(v)= [mm] \bruch{1}{2}* \bruch{1}{\wurzel{v}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\wurzel{v}}
[/mm]
für u'(x) muss ich doch jetzt v durch den term von v ersetzen richtig?
u'(x)= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
dann wäre ensprechend f'(x)= V'(x)+u'(v(x))
f'(x)= [mm] 2x*\bruch{1}{2*\wurzel{(x^2+1)^2+1}}
[/mm]
richtig..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Fr 09.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wenn du jetzt noch die 2 kürzt, und das x in den Nenner packst, hast du die eleganteste Form.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
das x ist doch im nenner...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Fr 09.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
$ [mm] f'(x)=2x\cdot{}\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{(x^2+1)^2+1}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{x}{\wurzel{(x^2+1)^2+1}} [/mm] $
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
sicher?
Bei mir im Buch steht folgende Endlösung
[mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
i-was in meiner Rechnung stimmt also nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Fr 09.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hattest:
$ [mm] f(x)=\wurzel{x^2+1} [/mm] $
Nun:
[mm] f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
stopp.
Also bei $ [mm] f(x)=\wurzel{x^2+1} [/mm] $ hast du recht.
u'(x) = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
v'(x) = 2x
und f'(x)= V'(x) * U'(v(x))
das heißt doch das in in u'(x) für x ich die gleichung von v einsetzen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Fr 09.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> stopp.
>
> Also bei [mm]f(x)=\wurzel{x^2+1}[/mm] hast du recht.
>
> u'(x) = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}[/mm]
> v'(x) = 2x
>
> und f'(x)= V'(x) * U'(v(x))
>
>
> das heißt doch das in in u'(x) für x ich die gleichung
> von v einsetzen muss.
So ist es. Und v=x²+1
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
ja richtig
v(x)=x²+1
v'(x)=2x
[mm] u'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
das würde heißen
f'(x)= v'(x)* u'(v(x))
also nochmal langsam.
[mm] 2x*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
Das x in der Wurzel von u'(x) muss jetzt doch auch durch v(x) ersetzt werden. oder? Das x wid quardriert. Also muss v(x) auch quadriert werden.
daraus resultiert also:
[mm] 2x*\bruch{1}{2*\wurzel{(x^2+1 )^2+1}}
[/mm]
jetzt stimmt das schon wieder nicht!
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Hallo DarkJiN,
Du siehst da irgendwelche komplizierten Gespenster.
> ja richtig
> v(x)=x²+1
> v'(x)=2x
>
> [mm]u'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}[/mm]
Das ist doch schon u'(v(x)) !
> das würde heißen
> f'(x)= v'(x)* u'(v(x))
>
> also nochmal langsam.
>
> [mm]2x*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}[/mm]
Und hier bist Du fertig. Es ist nichts mehr zu tun; schön, man kann noch die 2 kürzen.
> Das x in der Wurzel von u'(x) muss jetzt doch auch durch
> v(x) ersetzt werden. oder? Das x wid quardriert. Also muss
> v(x) auch quadriert werden.
Nein, das hast Du oben bereits verwendet.
> daraus resultiert also:
>
> [mm]2x*\bruch{1}{2*\wurzel{(x^2+1 )^2+1}}[/mm]
>
> jetzt stimmt das schon wieder nicht!
Aber ganz und gar nicht. Du verwendest eine nicht existente Kettenkettenregel.
Gesucht war [mm] f'(x)=v'(x)*u'(v(x))=2x*\bruch{1}{2\wurzel{v(x)}}=\bruch{2x}{2\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 09.12.2011 | | Autor: | DarkJiN |
> $ [mm] u'(x)=\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x^2+1}} [/mm] $
Das ist doch schon u'(v(x)) !
warum?
Ich ahb doch u'(v) = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{v}}
[/mm]
Jetzt muss ich für v doch die Funktion v(x) einsetzen oder nicht? Die Substitution von oben rückgängig machen.
dann habe ich
$ [mm] u'(x)=\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x^2+1}} [/mm] $
und dann muss ich darauf noch die kettenregel anwenden, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Fr 09.12.2011 | | Autor: | chrisno |
Schlicht nein.
Du hast es ausgerechnet, Du hast die Kettenregel bereist angewendet und dies ist ein Teil des Ergebnisses. Du hast $u'(v)$ ausgerechnet und $v(x)$ eingesetzt. genau das steht in der Kettenregel. Wenn Du nun noch einmal ableitest, dann machst Du etwas, was nicht mehr zur Kettenregel gehört.
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