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ableitung arctan-formel: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 So 13.01.2008
Autor: bonczi

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle x > -1 die Gleichung
arctan (x) + arctan ( [mm] \bruch{1-x}{1+x} [/mm] ) = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]
gilt.

ich will das jetzt so beweisen:

a)  da [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ja eine konstante ist, sollte ja eigentlich die ableitung dieser arctan-formel 0 ergeben

b) und im 2. schritt wollte ich dann irgendein x wählen und ausrechnen

(einen ähnlichen beweis hat meine übungsleiterin gemacht zur vorbereitung auf die hausaufgaben)


mein problem ist jetzt aber, dass ich bei a) nicht 0 rausbekomme. sondern : [mm] \bruch{-1}{1+x²} [/mm]

wäre toll, wenn jemand meinen fehler findet...

zu a) f(x) = arctan (x) + arctan ( [mm] \bruch{1-x}{1+x} [/mm] )

f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})²} [/mm] * [mm] \bruch{-1(1+x)-(1-x)1}{(1+x)²} [/mm]

Nebenrechnung: [mm] \bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})²} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{(1+x)²+(1-x)²}{(1+x)²}} [/mm]

f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] + [mm] \bruch{(1+x)²}{(1+x)²+(1-x)²} [/mm] * [mm] \bruch{-2}{(1+x)²} [/mm]

f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] - 2 [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm]
      
        = - [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm]


so wie man sehen kann, ist nicht 0 rausgekommen... weiß jemand, wo mein fehler liegt?

b) f(0) = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]
    f(4) = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]            

        
Bezug
ableitung arctan-formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 So 13.01.2008
Autor: Somebody


> Beweisen Sie, dass für alle x > -1 die Gleichung
>  arctan (x) + arctan ( [mm]\bruch{1-x}{1+x}[/mm] ) = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
>  gilt.
>  ich will das jetzt so beweisen:
>  
> a)  da [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ja eine konstante ist, sollte ja
> eigentlich die ableitung dieser arctan-formel 0 ergeben
>  
> b) und im 2. schritt wollte ich dann irgendein x wählen und
> ausrechnen
>  
> (einen ähnlichen beweis hat meine übungsleiterin gemacht
> zur vorbereitung auf die hausaufgaben)
>  
>
> mein problem ist jetzt aber, dass ich bei a) nicht 0
> rausbekomme. sondern : [mm]\bruch{-1}{1+x²}[/mm]
>  
> wäre toll, wenn jemand meinen fehler findet...
>  
> zu a) $f(x) = [mm] \arctan [/mm] (x) + [mm] \arctan [/mm] ( [mm] \bruch{1-x}{1+x})$ [/mm]
>  
> $f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²}+ \bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})^2}\cdot \bruch{-1(1+x)-(1-x)1}{(1+x)-2}$ [/mm]
>  
> Nebenrechnung: [mm] $\bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})^2}= \bruch{1}{\bruch{(1+x)^2+(1-x)^2}{(1+x)^2}}$ [/mm]
>  
> $f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} \blue{+ \bruch{(1+x)^2}{(1+x)^2+(1-x)^2}\cdot \bruch{-2}{(1+x)^2}}$ [/mm]

[ok]

> $f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} \red{- 2 \bruch{1}{1+x^2}}$ [/mm]

[notok] Na, was ist denn [mm] $(1+x)^2+(1-x)^2$ [/mm] genau? - Ich denke es ist [mm] $(1+x)^2+(1-x)^2=2+2x^2=2(1+x^2)$. [/mm] Damit löst sich Dein Problem.



Bezug
                
Bezug
ableitung arctan-formel: Dankö!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 So 13.01.2008
Autor: bonczi

jo und dann lässt sich die 2 rauskürzen und man bekommt 0 raus! *juhu* danke für deine hilfe ;) !!!

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