ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | berechne die lokale maxima und minima von
(x,y) [mm] \to (x^3-y^3)e^{-x^2-y^2}
[/mm]
f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe
ich wollte hier die hesse matrix anwenden, denn es gilt:
[mm] H_f(x) [/mm] positiv definit (also alle EW positiv) ->lokales Min
[mm] H_f(x) [/mm] negativ definit (also alle EW negativ) -> lokales MAx
[mm] H_f(x) [/mm] indefinit (also alle EW postiv und negativ) -> kein lokales Extremum
Für die Hesse MAtrix hab ich jetzt folgende Ableitungen berechnet:
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y}=e^{-x^2-y^2}(-2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial xy}=e^{-x^2-y^2}(6x^2+12y^2x^2+(-2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3)(-2x))
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x}= e^{-x^2-y^2}(4x^5-14x^3+6x+2y^3-2y^3x^2)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial yx}= e^{-x^2-y^2}(6y-6x^2y^2-8x^5y+14x^3y-12xy-4y^2+4y^4x^2)
[/mm]
[mm] (\bruch{\partial^2 f}{\partial xy} [/mm] bdeutet doch, 2mal nach y abgeleitet und dann einmal nach x, oder?)
Hesse MAtrix:
[mm] \pmat{e^{-x^2-y^2}(2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3 & e^{-x^2-y^2}(6x^2+12y^2x^2+(-2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3)(-2x)) \\ e^{-x^2-y^2}(4x^5-14x^3+6x+2y^3-2y^3x^2) & e^{-x^2-y^2}(6y-6x^2y^2-8x^5y+14x^3y-12xy-4y^2+4y^4x^2)}
[/mm]
Nun muss man die Eigenwerte berechnen
| [mm] \pmat{e^{-x^2-y^2}(2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3- \lambda & e^{-x^2-y^2}(6x^2+12y^2x^2+(-2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3)(-2x)) \\ e^{-x^2-y^2}(4x^5-14x^3+6x+2y^3-2y^3x^2) & e^{-x^2-y^2}(6y-6x^2y^2-8x^5y+14x^3y-12xy-4y^2+4y^4x^2-\lambda) } [/mm] |
meiner meinung nach sieht das ganz schon bistig aus und ich hab die befürchtung, dass ich auf dem falschen Wege bin, was meint ihr?
grüße, kreide
....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kreide!
Für die Kontrolle der partiellen Ableitungen fehlt mir gerade die Zeit [sory] ...
Aber [mm] $\bruch{\partial^2f}{\partial xy}$ [/mm] bedeutet, dass insgesamt zweimal abgeleitet wurde; und zwar erst nach x und anschließend nach y.
Bevor Du aber in die Determinantenbestimmung der Hesse-Matrix gehst, solltest Du zunächst die Nullstellen der partiellen Ableitungen [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}$ [/mm] ermitteln und diese Werte dann in die Hesse-Matrix einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo Loddar,
> Hallo Kreide!
>
>
> Für die Kontrolle der partiellen Ableitungen fehlt mir
> gerade die Zeit [sory] ...
das wollte ich auch nicht, ich hatte mich nur gefragt, ob meine vorgehensweise stimmt
>
> Aber [mm]\bruch{\partial^2f}{\partial xy}[/mm] bedeutet, dass
> insgesamt zweimal abgeleitet wurde; und zwar erst nach x
> und anschließend nach y.
>
> Bevor Du aber in die Determinantenbestimmung der
> Hesse-Matrix gehst, solltest Du zunächst die Nullstellen
> der partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] ermitteln und diese
> Werte dann in die Hesse-Matrix einsetzen.
wirklich? die hesse matrix besteht doch den zweiten partiellen ableitungen ... das verstehe ich jetzt gerade nicht
gruß kreide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kreide!
> wirklich? die hesse matrix besteht doch den zweiten
> partiellen ableitungen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist schon richtig! Aber man betrachtet die Hesse-Matrix jeweils an konkreten Punkten, bei denen gilt: [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo Loddar,
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= e^{-x^2-y^2}(3x^2-2x^4+2xy^3)
[/mm]
->Nullstellen sind x=0 oder y= [mm] \wurzel[3]{x^2-1,5x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= e^{-x^2-y^2}(-3y^2+2y^4-2yx^3)
[/mm]
->Nullstellen sind y=0 oder x= [mm] \wurzel[3]{y^2-1,5y}
[/mm]
Aber wie gebe ich diese Werte in die hessematrix ein? Ich weiß nicht wie ich die Defintion der hesse-matrix mit den nullstellen in verindung setzen soll....
hab die jetzt mal ganz willkürlich reingesetzt...
[mm] \pmat{ \wurzel[3]{x^2-1,5x} & 0 \\ 0 & \wurzel[3]{y^2-1,5y} }
[/mm]
Grüße
Kreide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
ich hab ja jetzt 4Nullstellen raus, das bedeutet doch, dass ich 4 potenzielle Extrempunkte habe, gell?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So kommen wir nun zu den Extremstellen. Ich zitiere einen Satz aus dem Forster 2 (Seite 61):
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Satz 4:
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Sei $U\subset\IR^n$ offen, $f:U\longrightarrow\IR$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $x\in U$ ein Punkt mit grad$f(x)=0$. Dann gilt:
1. Ist (Hess $f$)($x$) positiv definit, so hat $f$ in $x$ ein isoliertes Minimum.
2. Ist (Hess $f$)($x$) negativ definit, so hat $f$ in $x$ ein isoliertes Maximum.
3. Ist (Hess $f$)($x$) indefinit, so hat $f$ in $x$ kein lokales Extremum.
--------------
Dass $f$ zweimal stetig differenzierbar ist, dürfte klar sein. Begründung: Differenzierbarkeit haben wir gezeigt und Stetigkeit folgt daraus, dass wir es bei jeder Ableitung mit einer Komposition stetiger Funktionen zu tun haben. Als nächstes muss überprüft werden, welche Punkte (bei uns $(x,y)$ anstatt $x$) die Eigenschaft
grad$f(x,y)\,=\,\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)\,=\,(0,0)$
erfüllen. Wir untersuchen die part. Ableitung nach $x$: Da $e^{-x^2-y^2}$ stets positiv ist, wird die part. Abl. nach $x$ nur dann 0, wenn der Klammerausdruck 0 ist. Daher erhalten wir die Nullstellen
$ y=\wurzel[3]{x^{\red{3}}-\bruch{3}{2}x $ mit $x\in\IR$
Analog erhalten wir die Nullstellen der Partiellen Ableitung nach $y$:
$ x=\wurzel[3]{y^{\red{3}}-\bruch{3}{2}y $ mit $y\in\IR$
Wir brauchen nun ein Paar $(x,y)$ für das beide partiellen Ableitungen 0 sind. Damit ist dann für diesen Punkt $(x,y)$ der Gradient 0 und wir können den Satz anwenden. Dabei setzt Du den Punkt in die Hesse-Matrix und untersuchst die eigenschaften.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
hallo
>
> Wir brauchen nun ein Paar [mm](x,y)[/mm] für das beide partiellen
> Ableitungen 0 sind.
D. h, ich muss immer ein ZahlenPAAR in die Matrix eingeben, stimmt's?
z.B.
1) x=0, y=0 , also (0,0), dann käme die nullmatrix raus.
2) x=0 und [mm] y=\wurzel[3]{x^3-1,5x}, [/mm] käme auch die nullmatrix raus,
weil y= [mm] y=\wurzel[3]{0^3-1,5*0} [/mm] =0 , also ist [mm] (0,\wurzel[3]{x^3-1,5x} [/mm] )=(0,0)
3) y=0 und [mm] x=\wurzel[3]{y^3-1,5y}, [/mm] kommt auch die nullmatrix raus
4) [mm] x=\wurzel[3]{y^3-1,5y} y=\wurzel[3]{x^3-1,5x} [/mm] da käme keine nullmatrix raus
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt 3 Extrempunkte
griß, kreide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
hallo nochmal,
nun müsste man ja noch bestimmen, ob es sich um max oder min handelt, da dafür rechnet man nun die determinante für die jeweiligen Fälle aus,
das heißt die Determninate wäre in allen Fällen hier 0, also weder negativ noch positiv, dann kann man ja keine Aussage darüber machen, ob es sich um ein max oder min handelt....
irgendwo hab ich was falsch gemacht, kann das sein?
Liebe Grüße
kreide
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Hallo Kreide,
> hallo nochmal,
>
> nun müsste man ja noch bestimmen, ob es sich um max oder
> min handelt, da dafür rechnet man nun die determinante für
> die jeweiligen Fälle aus,
>
> das heißt die Determninate wäre in allen Fällen hier 0,
> also weder negativ noch positiv, dann kann man ja keine
> Aussage darüber machen, ob es sich um ein max oder min
> handelt....
>
> irgendwo hab ich was falsch gemacht, kann das sein?
Ja, das kann sein. Und zwar bei der Ermittlung der möglichen Extremstellen.
Wie Du sie richtig berechnest, findest Du hier: Antwort
>
> Liebe Grüße
>
> kreide
Gruß
MathePower
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Hallo Kreide,
> hallo
>
>
> >
> > Wir brauchen nun ein Paar [mm](x,y)[/mm] für das beide partiellen
> > Ableitungen 0 sind.
>
> D. h, ich muss immer ein ZahlenPAAR in die Matrix eingeben,
> stimmt's?
Ja.
>
> z.B.
> 1) x=0, y=0 , also (0,0), dann käme die nullmatrix
> raus.
>
> 2) x=0 und [mm]y=\wurzel[3]{x^3-1,5x},[/mm] käme auch die
> nullmatrix raus,
> weil y= [mm]y=\wurzel[3]{0^3-1,5*0}[/mm] =0 , also ist
> [mm](0,\wurzel[3]{x^3-1,5x}[/mm] )=(0,0)
>
> 3) y=0 und [mm]x=\wurzel[3]{y^3-1,5y},[/mm] kommt auch die
> nullmatrix raus
>
> 4) [mm]x=\wurzel[3]{y^3-1,5y} y=\wurzel[3]{x^3-1,5x}[/mm] da käme
> keine nullmatrix raus
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt 3 Extrempunkte
Einfacher gesagt, wenn [mm]x=0[/mm] ist, dann mußt Du die Lösungen der Gleichung [mm]y^{3}-\bruch{3}{2}y=0[/mm] ermitteln.
Dasselbe Spiel, wenn [mm]y=0[/mm] ist, dann mußt Du die Lösungen der Gleichung [mm]x^{3}-\bruch{3}{2}x=0[/mm] ermitteln.
Das sind dann die möglichen Kandidaten für ein Extremum.
>
> griß, kreide
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo,
d.h. habe ich dann nur 2 potentielle extrempunkte?
zählt x=0 und y=0 nicht mit weil denn die det von hessematirx gleich 0 wäre und darüber kann man keine aussage treffen , gell?
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ich hab für x=0 und y=(1,5)^(0,5)
eine positive determinante und für y=0 und [mm] y=(1,5)^0,5 [/mm] auch eine positve determinante für die hesse matrix bekommen, d.h es existieren 2 lokale minima
kreide
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> Hallo,
> d.h. habe ich dann nur 2 potentielle extrempunkte?
Hallo,
wieso? Ich bekomme fünf.
Mathepower schrieb:
"
Einfacher gesagt, wenn x=0 ist, dann mußt Du die Lösungen der Gleichung $ [mm] y^{3}-\bruch{3}{2}y=0 [/mm] $ ermitteln.
Dasselbe Spiel, wenn y=0 ist, dann mußt Du die Lösungen der Gleichung $ [mm] x^{3}-\bruch{3}{2}x=0 [/mm] $ ermitteln. "
Aus dem erstem bekommst Du die Punkte (0/...), (0/...) und (0/...),
aus dem zweiten die Punkte (.../ 0 ), (.../ 0 ) und (.../ 0 ).
Gruß v. Angela
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Hallo Kreide,
> Hallo Loddar,
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= e^{-x^2-y^2}(3x^2-2x^4+2xy^3)[/mm]
>
> ->Nullstellen sind x=0 oder y= [mm]\wurzel[3]{x^2-1,5x}[/mm]
Die Nullstelle in y muß so lauten:
[mm]y=\wurzel[3]{x^{\red{3}}-\bruch{3}{2}x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= e^{-x^2-y^2}(-3y^2+2y^4-2yx^3)[/mm]
>
> ->Nullstellen sind y=0 oder x= [mm]\wurzel[3]{y^2-1,5y}[/mm]
Genauso die in x:
[mm]x=\wurzel[3]{y^{\red{3}}-\bruch{3}{2}y[/mm]
>
> Aber wie gebe ich diese Werte in die hessematrix ein? Ich
> weiß nicht wie ich die Defintion der hesse-matrix mit den
> nullstellen in verindung setzen soll....
>
> hab die jetzt mal ganz willkürlich reingesetzt...
> [mm]\pmat{ \wurzel[3]{x^2-1,5x} & 0 \\ 0 & \wurzel[3]{y^2-1,5y} }[/mm]
>
> Grüße
> Kreide
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
danke mathepower, hast recht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Guten
> Morgen,
Hallo, ich rechne mal gerade die Ableitungen mit Maple aus und sag Dir, ob Deine Ergebnisse richtig sind.
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y}=e^{-x^2-y^2}(-2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3)[/mm]
Berechnung korrekt, aber du meinst hier sicherlich [mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ [/mm] anstatt [mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial y}$!
[/mm]
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}=e^{-x^2-y^2}(6x^2+12y^2x^2+(-2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3)(-2x))[/mm]
Berechnung falsch. Das korrekte Ergebnis wäre (erst nach $x$ dann nach $y$ ableiten)
[mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial xy}\,=\,e^{-x^2-y^2}(-6x^2y+6y^2x+4(x^3-y^3)xy)$
[/mm]
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x}= e^{-x^2-y^2}(4x^5-14x^3+6x+2y^3-2y^3x^2)[/mm]
Barechnung falsch, aber Du scheinst nur einen Rechenfehler gemacht zu haben. Außerdem meinst Du sicherlich wieder [mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ [/mm] anstatt [mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial x}$. [/mm] Das korrekte Ergebnis wäre
[mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,=\,e^{-x^2-y^2}(6x-14x^3-2y^3+4x^5-4y^3x^2)$
[/mm]
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial yx}= e^{-x^2-y^2}(6y-6x^2y^2-8x^5y+14x^3y-12xy-4y^2+4y^4x^2)[/mm]
Berechnung falsch. Das korrekte Ergebnis wäre (erst nach $y$ dann nach $x$ ableiten):
[mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial yx}\,=\,\frac{\partial^2 f}{\partial xy}$
[/mm]
also genau das selbe Ergebnis wie oben. Damit ist die Hesse-Matrix übering symmetrisch.
> [mm](\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}[/mm] bdeutet doch, 2mal nach
> y abgeleitet und dann einmal nach x, oder?)
Nein. Siehe danach, was Loddar geschrieben hat. Erst nach $x$ ableiten, dann nach $y$.
> Hesse MAtrix:
> [mm]\pmat{e^{-x^2-y^2}(2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3 & e^{-x^2-y^2}(6x^2+12y^2x^2+(-2x^3+8y^3-6y+4x^3y^2-4y^5+6y^3)(-2x)) \\ e^{-x^2-y^2}(4x^5-14x^3+6x+2y^3-2y^3x^2) & e^{-x^2-y^2}(6y-6x^2y^2-8x^5y+14x^3y-12xy-4y^2+4y^4x^2)}[/mm]
Die ist logischerweise nicht mehr richtig. Da musst Du die obigen korrekten partiellen Ableitungen verwenden.
Die ersten Ableitungen sind überings
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y}\,=\,e^{-x^2-y^2}(-3y^2-2x^3y-2y^4)$ [/mm] (siehe Korrekturanmerkung unten)
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}\,=\,e^{-x^2-y^2}(3x^2-2x^4+2y^3x)$
[/mm]
_______________________________________________________
KORREKTUR:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y}\,=\,e^{-x^2-y^2}(-3y^2-2x^3y+2y^4)$
[/mm]
> grüße, kreide
> ....
>
Gruß Denny
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Kreide |
hi denny, vielen dank für's überprüfen,
hab bei 2 stellen aber ein anderes vorzeichen, hab's auch noch mal nachgerechnet... ;)
> Barechnung falsch, aber Du scheinst nur einen Rechenfehler
> gemacht zu haben. Außerdem meinst Du sicherlich wieder
> [mm]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm] anstatt [mm]\frac{\partial^2 f}{\partial x}[/mm].
> Das korrekte Ergebnis wäre
>
[mm]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,=\,e^{-x^2-y^2}(6x-14x^3 [red] + [/red] 2y^3+4x^5-4y^3x^2)[/mm]
> Die ersten Ableitungen sind überings
du meintest hier wohl
[mm]\frac{\partial f}{\partial y}\,=\,e^{-x^2-y^2}(-3y^2-2x^3y [red] + [/red] 2y^4)[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}\,=\,e^{-x^2-y^2}(3x^2-2x^4+2y^3x)[/mm]
>
grüße, kreide
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
Auh weiah! Natürlich. Ich habe einen Vorzeichenfehler gemacht. Dein Ergebnis ist selbstverständlich richtig. Ich korrigiere das in meinem vorherigen Threat gleich mal.
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