abgeschlossene/offene Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mo 25.04.2005 | | Autor: | nasgrath |
Hallo!
mir fehlt irgendwie total der plan. wir sollen bestimmen, ob folgende Mengen abgeschlossen oder offen sind:
(i) {(u,v) : [mm] u^2+2v^2-uv [/mm] > 3}
(ii) {(u,v) : u+v [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] u^2+2v^2 \le [/mm] 3}
(iii) { (u,v,w) : 1 [mm] \le u^2+v^2-2w^2 \le [/mm] 3}
ich kenn zwar die definition von abgeschlossener bzw. offener menge, habe aber, da ich die vorlesung nicht besuchen kann, noch nie auch nur ein anwendungsbeispiel diesbezüglich gerechnet. habe auch in diversen unterlagen (skripten, bücher,...) immer nur die "trockene" definition vorgefunden, aber keine anwendungen :-(
hoffentlich könnt ihr mir mit tipps und anregungen helfen!
danke im voraus,
nasgrath
ich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mo 25.04.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo!
> mir fehlt irgendwie total der plan. wir sollen bestimmen,
> ob folgende Mengen abgeschlossen oder offen sind:
> (i) [mm]\{(u,v) : u^2+2v^2-uv > 3\}[/mm]
> (ii) [mm]\{(u,v) : u+v \ge 1 \mbox{ und } u^2+2v^2 \le 3\}[/mm]
> (iii) [mm]\{ (u,v,w) : 1 \le u^2+v^2-2w^2 \le 3\}[/mm]
>
Hallo nasgrath
z.B. zu (i) Betrachte die stetige Abbildung [mm] $f:\IR^2\to \IR\quad (u,v)\mapsto u^2+2v^2-uv$. [/mm] Dann ist die zu betrachtende Menge das Urbild des offenene Intervalls [mm] $(3,\infty).$ [/mm] Weil f eine stetige Abbildung ist, ist das Urbild einer offenen Menge eine offene Menge und deshalb ist (i) eine offene Teilmenge des [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Mit dem gleichen Argument ist (iii) eine abgeschlossene Menge (Urbild des abgeschlossenen Intervall $[1,3]$ unter einer stetigen Abbildung) und (ii) ebenfalls eine abgeschlossene Menge (Durchschnitt der Urbilder zweier abgeschlossenen Intervalle [mm] $[1,\infty)$ [/mm] und [mm] $(-\infty,3]$ [/mm] unter stetigen Abbildungen).
mfG Moudi
> ich kenn zwar die definition von abgeschlossener bzw.
> offener menge, habe aber, da ich die vorlesung nicht
> besuchen kann, noch nie auch nur ein anwendungsbeispiel
> diesbezüglich gerechnet. habe auch in diversen unterlagen
> (skripten, bücher,...) immer nur die "trockene" definition
> vorgefunden, aber keine anwendungen :-(
> hoffentlich könnt ihr mir mit tipps und anregungen
> helfen!
> danke im voraus,
> nasgrath
>
> ich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Di 26.04.2005 | | Autor: | nasgrath |
ach so einfach geht das! Danke nochmal!
Hab jetzt noch ein weiters Problem (verdammt, Topologie is nicht mein Ding)
wir sollen nun Abschluß, Inneres, Menge der Häufungspunkte und Berührungspunkte bestimmen
z.B. von
a) A=[0,1) x (1,2)
b) A={ [mm] (u,v):u^2+2v^2<2 [/mm] }
c) A={( [mm] \bruch{1}{n},n): [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] }
mich ärgert es richtiggehend, dass ich so überhaupt keinen Plan habe. Da mir, wie oben bereits erwähnt jedweder Ansatz fehlt wäre ich für Tipps und Hinweise auch für diese Problemstellung wirklich dankbar...
lg,
ein der Verzweiflung naher Nasgrath
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Hallo Nasgrath,
wenn du dir die Definitionen durchliest, dürfte das wirklich einfach sein:
Ich erklär dir das gerne nochmal am Beispiel von a.):
1.) Der Abschluss ist die Vereinigung einer Menge mit ihrem Rand, d.h. wenn du ne offene Menge hast, vereinigst du sie mit ihrem Rand und hast eine geschlossene Menge. Also ist der Abschluss von A=[0,1) x (1,2) einfach [0,1] x [1,2].
2.) Das Innere einer Menge A ist die Menge aller Punkte, die eine Epsilon-Umgebung in A besitzen. also in dem Fall (0,1) x (1,2)
3.) x heißt ein Häufungspunkt von A, wenn für jedes $ [mm] \epsilon [/mm] >0$ gilt: [mm] $U_{\epsilon}(x) \\ \{ x \} \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm] $. D.h. in jeder Epsilon-Umgebung von x muss ein Punkt von A liegen, der von x verschieden ist. In dem Fall wären die Häufungspunkte also alle Punkte der Menge [0,1] x [1,2].
4.) Weiss ich nicht, was ein Berührpunkt ist, musst du in die Definitionen schauen.
Liebe Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Di 26.04.2005 | | Autor: | nasgrath |
Danke!
Warum komm ich da selbst nicht drauf :-(
Wenn man die Ansätze kennt, ists total logisch...
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