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| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum. Sei [mm] Y\subset [/mm] X und A = Y [mm] \cup \partial [/mm] Y. Sei B eine abgeschlossene Menge mit [mm] Y\subset [/mm] B. Zeigen Sie, dass [mm] A\subset [/mm] B gilt. |
Meine Idee bis jetzt:
x [mm] \in [/mm] A beliebig
1.Fall: [mm] x\in [/mm] Y
da [mm] Y\subset [/mm] B ist x [mm] \in [/mm] B
2.Fall: x [mm] \in \partial [/mm] Y
a) [mm] x\in [/mm] inneren von B
b) [mm] x\not\in [/mm] inneren von B
dann ist zu zeigen [mm] x\in \partial [/mm] B
Laut Definition unserer Vorlesung:
[mm] x\in \partial [/mm] B [mm] \gdw [/mm] Für alle U offen, [mm] x\in [/mm] U [mm] U\cap [/mm] B [mm] \ne \emptyset [/mm] und [mm] U\cap(X\setminus [/mm] B) [mm] \ne \emptyset
[/mm]
Da Y [mm] \subset [/mm] B und [mm] U\cap [/mm] Y [mm] \ne \emptyset [/mm] folgt U [mm] \cap [/mm] B [mm] \ne \emptyset
[/mm]
Jetzt komm ich leider nicht mehr weiter. Ich weiß nicht, wie ich beweisen soll, dass [mm] U\cap(X\setminus [/mm] B) [mm] \ne \emptyset [/mm]
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:20 Sa 22.04.2006 | | Autor: | neli |
Mir würde da jetzt spontan einfallen, dass man zeigen könnte, dass alle Punkte aus dem Rand von Y Berührungspunkte von B sind, und somit der Rand von Y auch ganz in B drin liegt.
Dann würde A als Vereinigung von zwei echten Teilmengen von B denke ich auch in B liegen
Und dass [mm] \partial [/mm] Y [mm] \subset [/mm] B ist müsste recht leicht zu zeigen sein brauchst ja nur zeigen, dass für einen beliebigen Punkt aus [mm] \partial [/mm] Y in jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung mindestens ein Punkt aus B liegt
und dann verwenden, dass B abgeschlossen ist
alle Angaben ohne Gewähr 
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Hallo,
ich würde das einfacher machen: es ist zu zeigen [mm] $\partial Y\subset [/mm] B$. Oft lassen sich solche aussagen am besten indirekt durch widerspruch beweisen. Sei also [mm] $x\in \partial [/mm] Y$, aber [mm] $x\notin [/mm] B$. $B$ ist abgeschlossen, also das Komplement von $B$ offen. Dh. es gibt eine Umgebung $U$ von $x$, die $B$ nicht schneidet.
Denke jetzt an die definition des randes. Jede umgebung von $x$ muß $Y$ schneiden (natürlich auch das komplement). Siehst du jetzt den widerspruch?
VG
Matthias
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