abelsche Gruppe < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Zeige: GL(n)={A [mm] \in [/mm] Mat(nxn) : A ist invertierbar } ist eine abelsche Gruppe. |
Hallo zusammen^^
Ich hab ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.Ich weiß,wie man nachweist,dass es eine abelsche Gruppe ist.Nur brauche ich dafür auch eine Verknüpfung für die Matrizen und die steht hier nicht.Daher weiß ich grad nicht wie ich das ohne Verknüpfung machen soll.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen??
Vielen Dank
lg
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mandy_90,
> Zeige: GL(n)=\{A [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mat(nxn) : A ist invertierbar \} ist
> eine abelsche Gruppe.
Ich verstehe deine Frage nicht so ganz: was soll GL(n) bedeuten?
Außerdem schreibst du besser:
$GL(n)=\{A \in Mat(nxn) : \text{A ist invertierbar} \}$
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.Ich
> weiß,wie man nachweist,dass es eine abelsche Gruppe
> ist.Nur brauche ich dafür auch eine Verknüpfung für die
> Matrizen und die steht hier nicht.Daher weiß ich grad
> nicht wie ich das ohne Verknüpfung machen soll.
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen??
>
> Vielen Dank
> lg
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:47 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Gl(n) heißt: "allgemeine lineare Gruppe".
Kann es sein,dass die Aufgabe unvollständig ist?
lg
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Hallo Mandy_90,
> Gl(n) heißt: "allgemeine lineare Gruppe".
> Kann es sein,dass die Aufgabe unvollständig ist?
>
Ich glaube nicht; formuliere den Term mal in einem (korrekten, vollständigen) deutschen Satz, indem du auch A und M genau umschreibst.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
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> > Gl(n) heißt: "allgemeine lineare Gruppe".
> > Kann es sein,dass die Aufgabe unvollständig ist?
> >
> Ich glaube nicht; formuliere den Term mal in einem
> (korrekten, vollständigen) deutschen Satz, indem du auch A
> und M genau umschreibst.
Also ich hab es so verstande: Wir sollen zeigen,dass die allgemeine lineare Gruppe,die aus quadratischen Matrizen,die auch invertierbar sind, besteht, eine abelsche Gruppe ist.
lg
>
> Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Mandy_90,
> >
> > > Gl(n) heißt: "allgemeine lineare Gruppe".
> > > Kann es sein,dass die Aufgabe unvollständig ist?
> > >
> > Ich glaube nicht; formuliere den Term mal in einem
> > (korrekten, vollständigen) deutschen Satz, indem du auch A
> > und M genau umschreibst.
>
> Also ich hab es so verstande: Wir sollen zeigen,dass die
> allgemeine lineare Gruppe,die aus quadratischen
> Matrizen,die auch invertierbar sind, besteht, eine
> abelsche
?????????????????????
> Gruppe ist.
1. die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.
damit ist GL(n) eine Gruppe
2. für n>1 ist GL(n) nicht abelsch !!!!!
Bist Du sicher, dass in der Aufgabenstellung "abelsch" vorkommt ?
FRED
>
> lg
> >
> > Gruß informix
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Hallo Mandy_90,
> > >
> > > > Gl(n) heißt: "allgemeine lineare Gruppe".
> > > > Kann es sein,dass die Aufgabe unvollständig
> ist?
> > > >
> > > Ich glaube nicht; formuliere den Term mal in einem
> > > (korrekten, vollständigen) deutschen Satz, indem du auch A
> > > und M genau umschreibst.
> >
> > Also ich hab es so verstande: Wir sollen zeigen,dass die
> > allgemeine lineare Gruppe,die aus quadratischen
> > Matrizen,die auch invertierbar sind, besteht, eine
>
> > abelsche
>
> ?????????????????????
>
>
> > Gruppe ist.
>
>
> 1. die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.
> damit ist GL(n) eine Gruppe
>
>
> 2. für n>1 ist GL(n) nicht abelsch !!!!!
warum ist GL(n) für n>1 nicht abelsch?Das versteh ich nicht...
>
> Bist Du sicher, dass in der Aufgabenstellung "abelsch"
> vorkommt ?
Ja ich bin mir ganz sicher.
> FRED
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> >
> > lg
> > >
> > > Gruß informix
> >
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Hallo
> warum ist GL(n) für n>1 nicht abelsch?Das versteh ich
> nicht...
Nehmen wir 2 Matrizen A und B mit A [mm] \in [/mm] GL(n) und B [mm] \in [/mm] GL(n) mit n [mm] \ge [/mm] 2...
Dann ist A*B [mm] \not= [/mm] B*A und somit ist die Gruppe GL(n) mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung nicht kommutativ und somit nicht abelsch.
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> > warum ist GL(n) für n>1 nicht abelsch?Das versteh ich
> > nicht...
>
>
> Nehmen wir 2 Matrizen A und B mit A [mm]\in[/mm] GL(n) und B [mm]\in[/mm]
> GL(n) mit n [mm]\ge[/mm] 2...
>
> Dann ist A*B [mm]\not=[/mm] B*A
Es gibt solche Matrizen
Es kann schon vorkommen, dass A*B [mm]=[/mm] B*A : Aber eben nicht immer
FRED
> und somit ist die Gruppe GL(n) mit
> der Matrixmultiplikation als Verknüpfung nicht kommutativ
> und somit nicht abelsch.
>
> Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \not=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}$
[/mm]
FRED
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Hallo
> Zeige: GL(n)={A [mm] \in [/mm] Mat(nxn) : A ist invertierbar} ist
> eine abelsche Gruppe.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.Ich
> weiß,wie man nachweist,dass es eine abelsche Gruppe
> ist.Nur brauche ich dafür auch eine Verknüpfung für die
> Matrizen und die steht hier nicht.Daher weiß ich grad
> nicht wie ich das ohne Verknüpfung machen soll.
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen??
>
> Vielen Dank
> lg
Jetzt, da du weisst, dass die Aussage nicht stimmt, kannst du ein Gegenbeispiel suchen, für welches gilt: A [mm] \in [/mm] GL(n), B [mm] \in [/mm] GL(n) mit n beispielsweise 2 und zeigen, dass A*B [mm] \not= [/mm] B*A
Somit ist das Gegenteil bewiesen, nämlich, dass es keine abelsche Gruppe ist. (Wie Fred richtig bemerkt hat, es gibt solche Matrizen, für die die Gleichung gilt.. für eine abelsche Gruppe muss aber gelten, a*b = b*a [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G)
Grüsse, Amaro
Edit: Fred hat dir schon ein Beispiel gegeben :) )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,die Aussage ist also nicht wahr.Was mich jetzt noch ein bischen stört,ist dieses "invertierbare".Welche Rolle spielt denn hier die Eigenschaft der Matrizen,dass sie invertierbar sind.Man hätte auch ohne das dazu zu schreiben,zeigen können dass es keine abelsche Gruppe ist.
Hat dieses "invertierbare" hier iene besondere Rolle oder warum steht es da so??
lg
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Hallo
> Ok,die Aussage ist also nicht wahr.Was mich jetzt noch ein
> bischen stört,ist dieses "invertierbare".Welche Rolle
> spielt denn hier die Eigenschaft der Matrizen,dass sie
> invertierbar sind.Man hätte auch ohne das dazu zu
> schreiben,zeigen können dass es keine abelsche Gruppe
> ist.
> Hat dieses "invertierbare" hier iene besondere Rolle oder
> warum steht es da so??
>
> lg
Naja, nicht alle Matrizen sind invertierbar und es hätte ja sein können, dass diese spezielle Gruppe doch abelsch ist.. jetzt weisst du, dass GL(n) es nicht ist...
Das nächste Mal musst du die selbe Aufgabe für eine andere Gruppe lösen, die dann plötzlich doch abelsch ist.. :)
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,wenn das so ist...
Vielen Dank nochmal =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, der Aufgabensteller hat sich vertan. Zeige einfach:
GL(n) ist mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe
FRED
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