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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 10.01.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Zeige, dass jede Gruppe, deren Ordnung höchstens 4 ist, abelsch ist.
Hinweis: Betrachte für zwei Elemente [mm] \mathit{a} [/mm] und [mm] \mathit{b} [/mm] der Gruppe die Elemente [mm] \mathit{e, a, b, ab} [/mm] und [mm] \mathit{ba}. [/mm] Mache eine Rehe von Fallunterscheidungen und schließe jeweils, dass [mm] \mathit{ab = ba} [/mm] gilt. |
Hallo!
Um welche Fallunterscheidungen geht es eigentlich? Zuerst habe ich gedacht, dass ich jedes Element mit jedem addieren und multiplizieren sollte. Die Verknüpfung in dieser Gruppe ist aber nicht definiert als + und *.
Dann habe ich versucht mit Verknüpfungstabelle, aber dann habe ich auf der "Hauptdiagonale", die von links oben nach rechts unten verläuft laute [mm] \mathit{ba} [/mm] stehen. Ich kann also nicht daraus schliessen, dass [mm] \mathit{ab = ba}.
[/mm]
Es wäre nett, wenn mir jemand hilft.
mfG
Gosch
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Hallo,
zunächst mal ist wichtig, gegenüber welcher Verknüpfung du das zeigen willst! Hast du dir mal die Verknüpfungstafeln aufgezeichnet? Wir hatten damals den Satz, dass gilt
G ist abelsch [mm] \gdw [/mm] Die Verknüpfungstafel ist symmetrisch bzgl. der Hauptdiagonalen (links oben nach rechts unten).
Diese Gruppen aufzustellen ist ja nicht so schwer. Gruppe mit Ordnung 1 ist klar, gerade G={e}. Gruppe mit Ordnung 2,3,4 sind auch leicht aufzustellen.
Bei Ordnung 4 kannst du außerdem zeigen, dass [mm] G\cong(\IZ_{4},+)\cong(\IZ_{2},+)\otimes(\IZ_{2},+).
[/mm]
Das geht auch! Schau auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier hinein. Könnte interessant sein!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 10.01.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo,
das ist ja auch die Frage, kann ich es gegenüber nur + oder nur * zeigen?
Was machen im Hinweis gegebene Elemente [mm] \mathit{ab} [/mm] und [mm] \mathit{ba} [/mm] ? Soll ich die bei der Gruppe Ordnung 4 berüksichtigen [mm] \mathit{G = \{e, a, b, ab, ba\}}?
[/mm]
mfG
Gosch
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Hallo,
für * hast du doch da ein Gegenbeispiel, also geht es damit nicht!
Die Gruppe der Ordnung 4 ist isomorph zu [mm] (\IZ_{4},+). [/mm] Mehr brauchst du nicht zu zeigen!
Viele Grüße
Daniel
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