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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Sa 19.11.2005 | | Autor: | la0la |
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Hallo!
Es geht um folgendes:
Die Aufgabenstellung lautet:
Bildet [mm] (Q\{-1},°) [/mm] mit x°y:=x+y+xy eine abelsche Gruppe?
Mir ist zwar bewusst, welche Bedingungen dafür gelten müssen (Assotiativität, neutrales Element, Inverses Element, +Kommutativität), aber mir ist nicht so ganz klar, wie ich damit weiter vorgehen soll.
Ich habe bereits:
i)(a°b)°c=a+b+c+ab+ac+cb+abc
a°(b°c)= a+b+c+ab+ac+cb+abc
--also assotiativ
ii)a°e=a
--e=0
-- also neutrales Element vorhanden
iii)---gibt es kein inverses element, oder finde ich nur keines???
wie muss ich das darstellen???
iv) das müsst ich dann schon wieder hinbekommen
viele Grüße A
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Um das Inverse von [mm]x[/mm] zu bestimmen, löse die Gleichung [mm]x + y + xy = 0[/mm] nach [mm]y[/mm] auf.
Und noch etwas: Du mußt auch die Abgeschlossenheit der Gruppenoperation überprüfen, d.h. ist [mm]x \circ y[/mm] tatsächlich in [mm]\mathbb{Q} \setminus \{ -1 \}[/mm], sprich: ungleich -1? Und ähnlich auch beim Inversen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 So 20.11.2005 | | Autor: | la0la |
Wie ist das mit der Abgeschlossehneit gemeint? Ist es nicht so, dass das, was in der Aufgabenstellung vorausgesetzt wurde als richtig angesehen werden kann?
Und wie soll das bewiesen werden???
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Abgeschlossenheit heißt, daß sich alles in [mm]G = \mathbb{Q} \setminus \{ -1 \}[/mm] abspielen muß. (Ein Gegenbeispiel: die Menge [mm]\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}[/mm] ist bezüglich der Division nicht abgeschlossen; zwar liegt etwa [mm](-6):2[/mm] darin, nicht aber [mm](-5):2[/mm].)
Du müßtest also überprüfen, daß für [mm]x,y \in G[/mm] auch [mm]x \circ y \in G[/mm] gilt. Daß [mm]x \circ y = x+y+xy[/mm] wieder in [mm]\mathbb{Q}[/mm] liegt, ist offensichtlich; denn [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist gegenüber Addition und Multiplikation abgeschlossen (Körpereigenschaft). Aber könnte es nicht sein, daß sich dabei als Wert gerade [mm]-1[/mm] ergibt? Daß dem nicht so ist, weist du am besten durch einen Widerspruchbeweis nach. Tip: Bringe die aus der gegenteiligen Annahme herrührende Gleichung auf die Form [mm]\ldots = 0[/mm] und schreibe die linke Seite als Produkt (ein bißchen herumprobieren): [mm]\left( \ldots \right) \cdot \left( \ldots \right) = 0[/mm].
Und beim Inversen von [mm]x[/mm] mußt du überprüfen: Ist es sinnvoll definierbar? Und wenn das der Fall ist: Liegt es wieder in [mm]G[/mm]? Auch hier liegt natürlich ein Beweis durch Widerspruch nahe.
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