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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 12.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
| Aufgabe | Bezeichnen [mm] e_3, e_2 [/mm] die Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR^2. [/mm] Ferner sei f: [mm] \IR^3 \to \IR^2, \qquad (x,y,z)^T \to [/mm] (x+2y+z,-x+2z)
g: [mm] \IR^2 \to \IR^2, \qquad (x,y)^T \to (2x-y,x)^T.
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie M(f).
( Da ich neu bin, habe ich es nicht hinbekommen mit Latex. Vor dem M(f) muss oben [mm] e_3 [/mm] stehen und unter [mm] e_3 [/mm] steht dann [mm] e_2 [/mm] |
ich weiß nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll.
Ich kenne die Eigenschaften:
f ist linear, wenn zwei Eigenschaften gelten:
1) f(v+w) = f(v) + f(w)
2) [mm] f(\Lambda [/mm] * v+w) = [mm] \Lambda [/mm] * f(v) + f(w)
es verwirrt mich, weil es von [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] geht.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Hallo Bonaqa und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bezeichnen [mm]e_3, e_2[/mm] die Standardbasen des [mm]\IR^3[/mm] bzw. [mm]\IR^2.[/mm]
> Ferner sei f: [mm]\IR^3 \to \IR^2, \qquad (x,y,z)^T \to[/mm] (x+2y+z,-x+2z)
>
> g: [mm]\IR^2 \to \IR^2, \qquad (x,y)^T \to (2x-y,x)^T.[/mm]
>
> i) Zeigen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie M(f).
>
> ( Da ich neu bin, habe ich es nicht hinbekommen mit Latex.
Na, das ist doch schon super! Man kann alles lesen, alles ist schön klar und deutlich ...
> Vor dem M(f) muss oben [mm]e_3[/mm] stehen und unter [mm]e_3[/mm] steht dann
> [mm]e_2[/mm]
Also [mm]M(f)^{e_3}_{e_2}[/mm] <--- klick mal drauf ...
> ich weiß nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen
> soll.
> Ich kenne die Eigenschaften:
> f ist linear, wenn zwei Eigenschaften gelten:
>
> 1) f(v+w) = f(v) + f(w)
> 2) [mm]f(\Lambda[/mm] * v+w) = [mm]\Lambda[/mm] * f(v) + f(w)
>
> es verwirrt mich, weil es von [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] geht.
Macht doch nix. Die Addition im Argument von f, also v+w ist eine Addition im [mm]\IR^3[/mm], rechterhand werden [mm]f(v)[/mm] und [mm]f(w)[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] addiert.
Setze einfach mal bel. v,w ein: [mm]v=(x_1,y_1,z_1)^t\in\IR^3, w=(x_2,y_2,z_2)^t\in\IR^3[/mm]
Dann ist [mm]f(v+w)=f\left((x_1,y_1,z_1)^t+(x_2,y_2,z_2)^t\right)=f\left((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^t\right)=...[/mm]
Nun du weiter ... Nutze dazu die gegebene Abbildungsvorschrift
Wie du dann im Folgenden [mm]M(f)[/mm] bestimmst, weißt du?
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 12.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
$ [mm] f(v+w)=f\left((x_1,y_1,z_1)^t+(x_2,y_2,z_2)^t\right)=f\left((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^t\right)=... [/mm] $
das kann ich doch nicht weiter vereinfachen es wurde doch schon zusammen gefasst? :S oder was meinst du damit?
ich würde es jetzt so machen
$ [mm] f(v+w)=f\left((x_1,y_1,z_1)^t+(x_2,y_2,z_2)^t\right)=f\left((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^t\right)=... [/mm] $ [mm] f(x_1,y_1,z_1) [/mm] + [mm] f(x_2,y_2,z_2) [/mm] und damit ist die erste Eigenschaft erfüllt. aber das müsst ja falsch sein..
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Hallo nochmal,
gern geschehen ...
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> [mm]f(v+w)=f\left((x_1,y_1,z_1)^t+(x_2,y_2,z_2)^t\right)=f\left((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^t\right)=...[/mm]
> das kann ich doch nicht weiter vereinfachen es wurde doch
> schon zusammen gefasst? :S oder was meinst du damit?
Du musst nun die Abbildungsvorschrift anwenden ...
>
> ich würde es jetzt so machen
>
> [mm]f(v+w)=f\left((x_1,y_1,z_1)^t+(x_2,y_2,z_2)^t\right)=f\left((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^t\right)=...[/mm]
> [mm]f(x_1,y_1,z_1)[/mm] + [mm]f(x_2,y_2,z_2)[/mm] und damit ist die erste
> Eigenschaft erfüllt. aber das müsst ja falsch sein..
Das soll rauskommen, du musst die ... füllen. Das also konkret nachrechnen
Wende auf [mm]f((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^t)[/mm] die Abbildungsvorschrift an.
Das wird doch zu [mm]((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2),-(x_1+x_2)+2(z_1+z_2))^t[/mm]
Nun bist du im [mm]\IR^2[/mm] und kannst das mal weiter umformen, bis du bei [mm]f((x_1,y_1,z_1)^t)+f((x_2,y_2,z_2)^t)[/mm] landest ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 12.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
$ [mm] ((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2),-(x_1+x_2)+2(z_1+z_2))^t [/mm] $ = [mm] x_1+x_2+2y_1+2y_2+z_1+z_2,-x_1-x_2+2x_1+2x_2= 2x_1+2x_2+2y_1+2y_2+z_1+z_2 [/mm] stehen aber das müsste doch auch falsch sein oder nicht? :S
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Auch wenn du nie grüßt:
Hallo nochmal,
> [mm]((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2),-(x_1+x_2)+2(z_1+z_2))^t[/mm] =
> [mm]x_1+x_2+2y_1+2y_2+z_1+z_2,-x_1-x_2+2x_1+2x_2= 2x_1+2x_2+2y_1+2y_2+z_1+z_2[/mm]
Was ist hier passiert?
Linkerhand steht noch ein Vektor im [mm]\IR^2[/mm], bei dem du die Klammern vergessen hast, was steht aber rechterhand?
Du musst innerhalb des Vektors in den einzelnen Komponenten geschickt zusammenfassen und umgruppieren (Rechengesetze in [mm]\IR[/mm]: Assoz., Distr. Kommutat.)
[mm]((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2),-(x_1+x_2)+2(z_1+z_2))^t[/mm]
[mm]=(\red [x_1+2y_1+z_1\red ]+\blue [x_2+2y_2+z_2\blue ],\red[-x_1+2z_1\red ]+\blue [-x_2+2z_2\blue ])^t[/mm]
Nun kannst du das geschickt auseinanderziehen (ich hab's extra schon farbig gemacht)
Bitte liefere DU mir eine Begründung, warum und wie das geht ...
> stehen aber das müsste doch auch falsch sein oder nicht?
> :S
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Di 12.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
"Hallo", :)
Achso ich glaube ich habe das verstanden.
Du hast hier: $ [mm] ((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2),-(x_1+x_2)+2(z_1+z_2))^t [/mm] $ alle f(v)´s zusammen gefasst und f(w)´s so dass das hier zustande kommt
$ [mm] =(\red [x_1+2y_1+z_1\red ]+\blue [x_2+2y_2+z_2\blue ],\red[-x_1+2z_1\red ]+\blue [-x_2+2z_2\blue ])^t [/mm] $ nun hab ich das zusammengefasst auf = [mm] (2y_1+3z_1),(2y_2+3z_2) [/mm] = f(v) + f(w)
oder ist das auch wieder falsch?
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Hallo nochmal,
> "Hallo", :)
> Achso ich glaube ich habe das verstanden.
> Du hast hier:
> [mm]((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2),-(x_1+x_2)+2(z_1+z_2))^t[/mm]
> alle f(v)´s zusammen gefasst und f(w)´s so dass das hier
> zustande kommt
Ich habe das so zusammengefasst, weil wir die farbigen Klammerterme unten brauchen
>
> [mm]=(\red [x_1+2y_1+z_1\red ]+\blue [x_2+2y_2+z_2\blue ],\red[-x_1+2z_1\red ]+\blue [-x_2+2z_2\blue ])^t[/mm]
> nun hab ich das zusammengefasst auf =
> [mm](2y_1+3z_1),(2y_2+3z_2)[/mm] = f(v) + f(w)
>
> oder ist das auch wieder falsch?
Ja, was steht denn da linkerhand? Rechterhand steht ein Vektor aus dem [mm]\IR^2[/mm] als Summe zweier Vektoren
Was ich meine, ist dies:
[mm](\red [x_1+2y_1+z_1\red ]+\blue [x_2+2y_2+z_2\blue ],\red[-x_1+2z_1\red ]+\blue [-x_2+2z_2\blue ])^t[/mm]
[mm]=(\red [x_1+2y_1+z_1\red ],\red[-x_1+2z_1\red ])^t \ + \ (\blue [x_2+2y_2+z_2\blue ],\blue [-x_2+2z_2\blue ])^t[/mm]
Was habe ich in diesem Schritt gemacht?
[mm]=f((x_1,y_1,z_1)^t) \ + \ f((x_2,y_2,z_2)^t)[/mm]
[mm]=f(v) \ + \ f(w)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Di 12.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
hallo,
bin glaub zu verwirrt gerade, wie bist du von hier $ [mm] =(\red [x_1+2y_1+z_1\red ],\red[-x_1+2z_1\red ])^t [/mm] \ + \ [mm] (+\blue [x_2+2y_2+z_2\blue ],\blue [-x_2+2z_2\blue ])^t [/mm] $ auf das $ [mm] =f((x_1,y_1,z_1)^t) [/mm] \ + \ [mm] f((x_2,y_2,z_2)^t) [/mm] $ gekommen? ich glaub den rest mache ich morgen, addiert hast du es nicht..hätte nicht gedacht, dass ich solche lücken habe..
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Hallo nochmal,
> hallo,
> bin glaub zu verwirrt gerade, wie bist du von hier [mm]=(\red [x_1+2y_1+z_1\red ],\red[-x_1+2z_1\red ])^t \ + \ (+\blue [x_2+2y_2+z_2\blue ],\blue [-x_2+2z_2\blue ])^t[/mm]
> auf das [mm]=f((x_1,y_1,z_1)^t) \ + \ f((x_2,y_2,z_2)^t)[/mm]
Der Vektor mit den roten Klammern ist doch genau [mm] $f((x_1,y_1,z_1)^t)$ [/mm] der andere blaue (da ist das "+" vor der ersten blauen Klammer zuviel - copy&paste ...) ist [mm] $f((x_2,y_2,z_2)^t)$
[/mm]
> gekommen? ich glaub den rest mache ich morgen, addiert hast
> du es nicht..hätte nicht gedacht, dass ich solche lücken
> habe..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
Okay, nun noch ein versuch.
Wenn die erste Eigenschaft f(v+w)=f(v)+f(w) mit der zweiten verknüpfe kommt doch wie du schon vorher geschrieben hast, als Mitteilung: [mm] f(\Lambda [/mm] v +w) = [mm] \Lambda [/mm] f(v) + f(w) raus. Da wir gestern schon die erste Eigenschaft gemacht haben wollt ich fragen, wie ich das mit der zweiten mache? könnt ich nicht einfach von unseren gestrigen Ergebnis auf der linken Seite immer ein [mm] \Lambda [/mm] machen vor dem v und auf der rechten Seite ein [mm] \Lambda [/mm] vor dem f(v) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 13.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay, nun noch ein versuch.
>
> Wenn die erste Eigenschaft f(v+w)=f(v)+f(w) mit der
> zweiten verknüpfe kommt doch wie du schon vorher
> geschrieben hast, als Mitteilung: [mm]f(\Lambda[/mm] v +w) = [mm]\Lambda[/mm]
> f(v) + f(w) raus. Da wir gestern schon die erste
> Eigenschaft gemacht haben wollt ich fragen, wie ich das mit
> der zweiten mache? könnt ich nicht einfach von unseren
> gestrigen Ergebnis auf der linken Seite immer ein [mm]\Lambda[/mm]
> machen vor dem v und auf der rechten Seite ein [mm]\Lambda[/mm] vor
> dem f(v) ?
Dass Du das so machen darfst, sollst Du doch gerade zeigen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
okay und wie würde ich nun M(f) bestimmen? von [mm] e_3 [/mm] nach [mm] e_2? e_3 [/mm] wäre doch [mm] (1,1,0)^T [/mm] und [mm] e_2 (1,0)^T
[/mm]
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Hallo nochmal,
> okay und wie würde ich nun M(f) bestimmen? von [mm]e_3[/mm] nach
> [mm]e_2? e_3[/mm] wäre doch [mm](1,1,0)^T[/mm] und [mm]e_2 (1,0)^T[/mm]
Verstehe ich nicht.
Welches Format hat denn die Abbildungsmatrix?
Du hast ja eine Abbildung von [mm] $\IR^3\to\IR^2$
[/mm]
Damit hat die Abbildungsmatrix welches Format?
Wie man das berechnet, solltest du unbedingt wissen oder in deiner Mitschrift nachschlagen.
Soviel sollte man doch von einem Studenten erwarten können?!
Bilde die Basisvektoren von [mm] $e_3$ [/mm] ab und stelle die Bilder als Linearkombination der Basisvektoren von [mm] $e_2$ [/mm] dar.
Die Koefizienten in dieser LK stopfe als Spalten in eine Matrix.
Diese Prozedur angewandt auf den i-ten Vektor von [mm] $e_3$ [/mm] gibt die i-te Spalte der gesuchten Matrix.
Hier ist das besonders einfach, da du im Urbild- und Bildraum die Standardbasis hast ...
Nun liefere mal die Matrix!
Gruß
scahchuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Di 12.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. meinte hab es falsch kopiert.
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Hallo nochmal,
noch eine Anmerkung:
Es genügt für 2) [mm]f(\lambda\cdot{}w)=\lambda\cdot{}f(w)[/mm] für alle [mm]\lambda\in\IR, w\in\IR^3[/mm]
Wenn du magst, kannst du auch 1) und 2) zusammenfassen zu
[mm]f(\lambda\cdot{}v+w)=\lambda\cdot{}f(v)+f(w)[/mm] für alle [mm]\lambda,\in\IR, v,w\in\IR^3[/mm]
Was deinem 2) entspricht ...
Zeige also entweder getrennt
1) [mm]f(v+w)=f(v)+f(w)[/mm]
und
2) [mm]f(\lambda v)=\lambda f(v)[/mm]
ODER NUR
[mm]f(\lambda v+w)=\lambda f(v)+f(w)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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