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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mo 06.06.2011 | | Autor: | damulon |
| Aufgabe | Sei M die Menge aller geraden ganzen Zahlen, also M={...-6;-4;-2;0;2;4;6...}.
Seien nun (M,+) und (Z,+) Gruppen. geben sie einen passenden Isomorphismus [mm] \phi [/mm] : M [mm] \mapsto [/mm] Z an und zeigen sie, dass es sich tatsächlich um einen solchen handelt. |
hi zusammen,
bei der aufgabe bin ich soweit des ich gezeigt habe das es ein homomorphismus ist und ein monomorphismus.jedoch weis ich nicht wie nun nun zeigen soll dass es ein epimorphismus ist und folgend ein isomorphimus.
das sind meine schritte gewesen:
1.) homomorphismus
für [mm] \phi [/mm] (x)= [mm] \bruch{x}{2} [/mm] folgt [mm] \phi(x+y)= \bruch{x+y}{2}= \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{y}{2}= \phi(x) [/mm] + [mm] \phi(y)
[/mm]
und weiter [mm] \phi(0)=\bruch{0}{2}=0
[/mm]
daraus folgt: [mm] \phi(x)=\phi(0)+\phi(x)= 0+\bruch{x}{2}=\bruch{x}{2}
[/mm]
[mm] =\phi(0)
[/mm]
-> homomorphimus
2. monomorphismus
[mm] \bruch{x}{2}=\bruch{y}{2} [/mm] -> [mm] \phi(x)=\phi(y) [/mm] -> x=y
->injektiv -> monomorphismus
3.epimorphismus
hier komm ich nicht mehr weiter
ich hoff meine vorherigen schritte stimmen und ihr könnt mir helfen die aufgabe noch zu lösen.
mfg damulon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Di 07.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei M die Menge aller geraden ganzen Zahlen, also
> M={...-6;-4;-2;0;2;4;6...}.
>
> Seien nun (M,+) und (Z,+) Gruppen. geben sie einen
> passenden Isomorphismus [mm]\phi[/mm] : M [mm]\mapsto[/mm] Z an und zeigen
> sie, dass es sich tatsächlich um einen solchen handelt.
> hi zusammen,
>
> bei der aufgabe bin ich soweit des ich gezeigt habe das es
> ein homomorphismus ist und ein monomorphismus.jedoch weis
> ich nicht wie nun nun zeigen soll dass es ein epimorphismus
> ist und folgend ein isomorphimus.
>
> das sind meine schritte gewesen:
> 1.) homomorphismus
>
> für [mm]\phi[/mm] (x)= [mm]\bruch{x}{2}[/mm] folgt [mm]\phi(x+y)= \bruch{x+y}{2}= \bruch{x}{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{y}{2}= \phi(x)[/mm] + [mm]\phi(y)[/mm]
>
> und weiter [mm]\phi(0)=\bruch{0}{2}=0[/mm]
> daraus folgt: [mm]\phi(x)=\phi(0)+\phi(x)= 0+\bruch{x}{2}=\bruch{x}{2}[/mm]
>
> [mm]=\phi(0)[/mm]
> -> homomorphimus
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. monomorphismus
>
> [mm]\bruch{x}{2}=\bruch{y}{2}[/mm] -> [mm]\phi(x)=\phi(y)[/mm] -> x=y
Eher (nur wegen der Reihenfolge der Argumente): Seien $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $\phi(x) [/mm] = [mm] \phi(y) \Rightarrow \bruch{x}{2}=\bruch{y}{2} \Rightarrow [/mm] x = y$
Du meinst natürlich das richtige. Alternativ kannst du zeigen, dass der Kern des Homomorphismus 0 ist, d.h. [mm] $\phi(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \bruch{x}{2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0$
> ->injektiv -> monomorphismus
>
> 3.epimorphismus
>
> hier komm ich nicht mehr weiter
Nimm dir ein $z [mm] \in \IZ$. [/mm] Nun musst du ein Urbild finden. Es ist natürlich gegeben durch $2z [mm] \in [/mm] M$. Begründe warum $2z$ in $M$ liegt und warum [mm] $\phi(2z) [/mm] = z$, dann bist du fertig.
Darüber hinaus solltest du am Anfang noch begründen, warum die von dir angegebene Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] wohldefiniert ist, auch wenns eigentlich klar ist.
LG Lippel
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