a Bestimmen das f(x) stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mi 16.06.2010 | | Autor: | jumper |
| Aufgabe | für welches a ist die Funktion stetig
[mm] fa(x)=\begin{cases} \bruch{sin a x}{2x}, & \mbox{} \mbox{x>0 } \\ x+1, & \mbox{x<=0} \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Ich denke ich muß den Schnittpunkt der beiden Funktione bei x = 0 berechnen! Muß ich die beiden gelichsetzen? Oder was muß ich tun?
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Hallo jumper,
> für welches a ist die Funktion stetig
> [mm]fa(x)=\begin{cases} \bruch{sin a x}{2x}, & \mbox{} \mbox{x>0 } \\ x+1, & \mbox{x<=0} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Ich denke ich muß den Schnittpunkt der beiden Funktione
> bei x = 0 berechnen! Muß ich die beiden gelichsetzen?
Wieso solltest du das tun wollen?
> Oder was muß ich tun?
Nun du musst f auf Stetigkeit in 0 untersuchen.
Außerhalb von 0 ist f offensichtlich stetig.
Allein die "Nahtstelle" $x=0$ ist spannend.
Untersuche [mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}f(x)$ [/mm] (also rechts- und linksseitigen Limes) und schaue, für welches $a$ beide denselben Wert liefern ....
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 16.06.2010 | | Autor: | jooo |
ja der linkseitige limes geht dann gegen 1 ,damit die Funktion stetig ist muß ja die rechte Funktion auch gegen 1 gehen,doch [mm] \bruch{sin(a*0)}{2x} [/mm] geht doch immer gegen 0 ! wo ist mein fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 16.06.2010 | | Autor: | jooo |
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bedenke, dass gilt:
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
Danke für die Antwort!
Ok daraus folgt das a=2 sein muß aber mir ist unklar weshalb
[mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
Gruß vom schizophrenen jooo
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Hallo nochmal,
> > Bedenke, dass gilt:
> > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
> >
> > Gruß
> > Loddar
> Danke für die Antwort!
>
>
> Ok daraus folgt das a=2 sein muß ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber mir ist unklar
> weshalb
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
Das sieht man am schnellsten ein mit der Regel von de l'Hôpital:
Es ist [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=\frac{0}{0}$ [/mm] ein undefinierter Ausdruck.
Leitet man gem. der besagten Regel Zähler und Nenner getrennt ab, so erhält man:
[mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{[\sin(z)]'}{[z]'}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{\cos(z)}{1}=0$
[/mm]
Damit dann auch (seihe die Regel) [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1$
[/mm]
Alternativ ist [mm] $\sin'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$ [/mm] (Differenzenquotient)
Also [mm] $\cos(0)=1=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}$
[/mm]
> Gruß
> vom schizophrenen jooo
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mi 16.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jooo!
> aber mir ist unklar weshalb [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
Es gibt auch eine geometrische Lösung dessen: siehe hier.
> Gruß vom schizophrenen jooo
Dann lies Dir zu dieser Schizophrenie insbesondere § 17 der Forenregeln durch.
Gruß
Loddar
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