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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen des Kegels [mm] K=({(x,y,z);2\wurzel{x^2+y^2} \le z \le 1}) [/mm] |
Ich möchte diese Aufgabe mit Zylinderkoordinaten lösen.
Ich hab bei der Umtransformierung immer Probleme, die neuen Integralgrenzen zu bestimmen.
Also ich würde so vorgehen:
Es gibt r= [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] und
x=r*cos(e)
y=r*sin(e)
z=z
Die neuen Koordinaten lauten (r,e,z)
Das Integral lautet dann
[mm] \integral_{K}^{}{1 d(x,y,z)}=\integral_{z=?}^{?}\integral_{r=?}^{?}\integral_{e=}^{?}{de*r*dr*dz}
[/mm]
Nun müssen nur noch die Grenzen bestimmt werden.
Für r steht ja da 2r [mm] \le [/mm] z, also 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \bruch{z}{2}
[/mm]
Für z gilt 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1
Wie komme ich an die Grenzen von e?
Ich weiß, dass [mm] e=arctan(\bruch{y}{x})
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Di 20.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie das Volumen des Kegels
> [mm]K=({(x,y,z);2\wurzel{x^2+y^2} \le z \le 1})[/mm]
> Ich möchte
> diese Aufgabe mit Zylinderkoordinaten lösen.
> Ich hab bei der Umtransformierung immer Probleme, die
> neuen Integralgrenzen zu bestimmen.
>
> Also ich würde so vorgehen:
> Es gibt r= [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und
> x=r*cos(e)
> y=r*sin(e)
> z=z
> Die neuen Koordinaten lauten (r,e,z)
> Das Integral lautet dann
> [mm]\integral_{K}^{}{1 d(x,y,z)}=\integral_{z=?}^{?}\integral_{r=?}^{?}\integral_{e=}^{?}{de*r*dr*dz}[/mm]
>
> Nun müssen nur noch die Grenzen bestimmt werden.
> Für r steht ja da 2r [mm]\le[/mm] z, also 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le \bruch{z}{2}[/mm]
>
> Für z gilt 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 1
>
> Wie komme ich an die Grenzen von e?
> Ich weiß, dass [mm]e=arctan(\bruch{y}{x})[/mm]
Eher [mm] $\bruch{y}{x} [/mm] = [mm] \tan [/mm] e$, da der Winkelbereich der Zylinderkoordinaten [mm] ($0\dots 2\pi$) [/mm] ein anderer ist als der Wertebereich des [mm] $\arctan$.
[/mm]
Dein Volumen ist rotationssymmetrisch um die z-Achse, also wird über den vollen Winkelbereich von 0 bis [mm] $2\pi$ [/mm] integriert.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für deine Hilfe
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