Zylinder in Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Fr 03.10.2008 | | Autor: | mitex |
| Aufgabe | Die Parabel mit der Gleichung [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] hat in S(0/6) den Scheitel und geht durch den Punkt [mm] A(4\wurzel{3}/2).
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Parabel
b) Das unter der x-Achse liegende Parabelsegment rotiert um die y-Achse. Dem so entstehenden Rotationskörper ist ein Drehzylinder mit max. Volumen einzuschreiben. |
Grüß euch!
Mit dem 1. Teil der Angabe habe ich kein Problem, die Funktion lautet: [mm] y=\bruch{1}{6}x^2-6.
[/mm]
Die Nullstellen liegen bei (-6/0) und (6/0).
Zur Berechnung des Volumens der rotierenden Parabel habe ich die Funktion umgestellt:
[mm] x^2=6y+36
[/mm]
[mm] V_{Roty}: \pi\integral_{-6}^{0}{f(x)=(6y+36) dx}=3y^2+36y [/mm] = [mm] \pi*-108
[/mm]
Volumen Drehzylinder: [mm] \pi*r^2*h
[/mm]
h=(6-y)
Ich gehe davon aus, dass r = x = [mm] \wurzel{6y+36}
[/mm]
[mm] \overline{V}_Z [/mm] = [mm] (\wurzel{6y+36})^2*(6-y)
[/mm]
[mm] \overline{V}_Z [/mm] = (6y+36)*(6-y)
[mm] \overline{V}_Z [/mm] = 36y+216-6y-36y
[mm] \overline{V}_Z [/mm] = 216-6y
[mm] \overline{V}_Z' [/mm] = hier stehe ich vor dem Nichts
Hmm, ich weiß nicht wirklich weiter, könnte mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Gruß
mitex
PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Gleichung der Parabel stimmt leider nicht. Die Hätte ihren Scheitelpunkt bei S(0|-6) und wäre nach oben geöffnet. Oder du musst nochmal einen Blick über deine Aufgabe werfen, ob da auch alles stimmt!
Und wieso rechnest du denn das Volumen des Rotationskörpers aus? Kannst du zwar machen, aber wird hier nicht verlangt. Das dx solltest du zu dy ändern und im Integral sollte nicht "f(x)=" stehen. Und bei der Berechnung des Integrals ist die auch ein Fehler passiert!
Bei b musst du eigentlich nur mit der Zylindervolumenformel arbeiten.
Ein Ansatz wäre da r=a und h=f(a).
Du hast dir das alles etwas zu schwer gemacht mit dem Rotationsvolumen der Parabel :) aber das kannst du getrost weglassen. Du brauchst nur die r und h vom Zylinder.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Fr 03.10.2008 | | Autor: | mitex |
Hi, Teufel
entschuldige bitte, ein Fehler nach dem anderen:
Die letzte Zeile der Angabe heißt:
Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina beider Körper!
Der Scheitel heißt in der Angabe S(0/-6) und den Integral habe ich kopiert und leider das f(x) und dx übersehen, aber einen Rechenfehler sehe ich nicht wirklich.
Die Funktion [mm] \bruch{1}{6}x^2-6 [/mm] und [mm] V=108\pi [/mm] stimmen eigentlich mit den Ergebnissen überein.
> Bei b musst du eigentlich nur mit der Zylindervolumenformel
> arbeiten.
> Ein Ansatz wäre da r=a und h=f(a).
Hier muss ich leider gestehen, ich weiß nicht, was du meinst mit a konkret meinst.
Gruß
mitex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, dann stimmt ja das meiste :) Dein Volumen stimmt dann auch!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Radius deines Zylinders ist r=a, und die Höhe wäre hier dann h=-f(a). Das - ist davor, weil der Funktionswert an den Stellen kleiner als 0 ist, aber die Höhe positiv sein muss.
Damit kannst du also das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von einer Stelle a ausdrücken und die Volumenformal nach a ableiten.
Teufel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 04.10.2008 | | Autor: | mitex |
Hi,
stelle mich vermutlich ziemlich an, aber das hilft mir nicht weiter, habe keine brauchbare Idee um weiterzukommen.
Gruß
mitex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 04.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du dir teufels Skizze mal anschaust, siehst du, dass der Zylinder den Grundflächenradius -f(a) hat und die Höhe 2a
Daraus ergibt sich ein Volumen von [mm] V=\pi*(-f(a))²*2a
[/mm]
Mit [mm] f(a)=\bruch{1}{6}x^2-6.
[/mm]
Ergibt sich also:
[mm] V(a)=\pi*\left(-\bruch{1}{6}x²+6\right)^{2}*2a
[/mm]
[mm] =2\pi*a*\left(6-\bruch{1}{6}x²\right)^{2}
[/mm]
=...
(Beachte die Binomische Formel)
Und von diesem Volumen suchst du jetzt das Maximum [mm] a_{max}, [/mm] also [mm] V'(a_{max})=0 [/mm] und zur Bestätigung dann [mm] V''(a_{max})<0
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Parabel (und der Zylinder damit auch) sollen sich um die y-Achse drehen!
Daher r=a, h=-f(a)
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 04.10.2008 | | Autor: | mitex |
Hi,
herzlichen Dank für eure Hilfe, aber dieses Beispiel will nicht in meinen Kopf, jetzt habe ich ja 2 Variable in meiner Formel (?), die ich laut teufel nach a ableiten soll, ich bekomms nicht hin, habe bereits x Versionen, aber keine führt mich zum richtigen Ergebnis.
Gruß
mitex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Du musst ja irgendeinen bestimmten Radius finden, sodass das Zylindervolumen maximal ist. Daher setzen wir den Radius erstmal a, also r=a.
Und die Höhe des Zylinders wäre der Betrag des Funktionswertes deiner Funktion, damit der Zylinder genau an dem Rotationskörper dranliegt. Also [mm] h=-f(a)=-\bruch{1}{6}x^2+6 [/mm] (Begründung kam ja schon, höhe muss positiv sein).
Die Volumenformel des Zylinders ist ja [mm] V=\pi*r^2*h.
[/mm]
Mit r=a und [mm] h=-f(a)=-\bruch{1}{6}x^2+6 [/mm] erhälst du:
[mm] V(a)=\pi*a^2*(-\bruch{1}{6}x^2+6), [/mm] was du noch vereinfachen und danach ableiten kannst!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 05.10.2008 | | Autor: | mitex |
So, habe nochmal anfangen mit diesem Beispiel (hab schon graue Haare dazu bekommen);):
> Du musst ja irgendeinen bestimmten Radius finden, sodass
> das Zylindervolumen maximal ist. Daher setzen wir den
> Radius erstmal a, also r=a.
> Und die Höhe des Zylinders wäre der Betrag des
> Funktionswertes deiner Funktion, damit der Zylinder genau
> an dem Rotationskörper dranliegt. Also
> [mm]h=-f(a)=-\bruch{1}{6}x^2+6[/mm] (Begründung kam ja schon, höhe
> muss positiv sein).
>
> Die Volumenformel des Zylinders ist ja [mm]V=\pi*r^2*h.[/mm]
>
> Mit r=a und [mm]h=-f(a)=-\bruch{1}{6}x^2+6[/mm] erhälst du:
>
> [mm]V(a)=\pi*a^2*(-\bruch{1}{6}x^2+6),[/mm] was du noch vereinfachen
> und danach ableiten kannst!
>
Vereinfachte Formel: (in der Hoffnung, dass diese stimmt)
[mm]V(a)=a^2*(-\bruch{1}{6}x^2+6)[/mm]
[mm]V'(a)=-\bruch{1}{3}a*(x^2-36)=0[/mm]
[mm]V'(a)=-a*(3x^2-108)=0[/mm]
und hier geht's nicht mehr weiter, habe 2 Variable, wobei das x hier ja eigentlich eine Konstante wäre.
Gruß
mitex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah sorry, mein Fehler.
f(a) ist ja [mm] \bruch{1}{6}a^2-6, [/mm] also musst du das x da nur zu einem a machen.
Und das [mm] \pi [/mm] nicht vergessen, was vorne steht!
Und vor dem Ableiten am besten erst die Klammer auflösen.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 So 05.10.2008 | | Autor: | mitex |
Hallo Teufel,
du wirst es kaum glauben, ich habe das richtige Ergebnis, nochmals herzlichen Dank für deine Geduld und Mühe.
Gruß, mitex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Immer wieder gerne ;)
Teufel
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