Zyklus im Restklassenring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] (\IZ/15\IZ)* [/mm] nicht zyklisch ist. |
Hallo Leute,
ich hab da ehrlich gesagt nicht viel Ahnung wie ich da rangehen soll. Ich hab mir folgendes gedacht: Diese Menge besteht ja nur aus Elementen, die ein multiplikatives Inverses haben. Wenn ich denn nun zeige, dass es keinen Erzeuger gibt, dann ist diese Menge / Gruppe (???) nicht zyklisch. Ist der Gedankengang richtig oder eher was anderes?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ein_weltengel und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie, dass [mm] $(\IZ/15\IZ)^{\star}$ [/mm] nicht zyklisch ist.
> Hallo Leute,
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> ich hab da ehrlich gesagt nicht viel Ahnung wie ich da
> rangehen soll. Ich hab mir folgendes gedacht: Diese Menge
> besteht ja nur aus Elementen, die ein multiplikatives
> Inverses haben. Wenn ich denn nun zeige, dass es keinen
> Erzeuger gibt, dann ist diese Menge / Gruppe (???) nicht
> zyklisch. Ist der Gedankengang richtig oder eher was
> anderes?
Das ist ein richtiger Gedanke.
Hilfreich könnte dies sein: Eine endliche Gruppe G der Ordnung $n=|G|$ ist genau dann zyklisch, wenn es ein Element [mm] $g\in [/mm] G$ gibt mit $ord(g)=n$
Wie ist die Ordnung von [mm] $(\IZ/15\IZ)^{\star}$ [/mm] ?
Dann die Elemente von [mm] $(\IZ/15\IZ)^{\star}$ [/mm] durchprobieren ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Wie ist die Ordnung von $ [mm] (\IZ/15\IZ)^{\star} [/mm] $ ?
[mm] \IZ/15\IZ^{\star} [/mm] = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
Ordnung = 8
Eine endliche Gruppe G der Ordnung $ n=|G| $ ist genau dann zyklisch, wenn es ein Element $ [mm] g\in [/mm] G $ gibt mit $ ord(g)=n $
Was ist denn das $ ord(g) = n $ ? Wie berechne ich das bei den einzelnen Elementen?
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Hallo nochmal,
> Wie ist die Ordnung von [mm](\IZ/15\IZ)^{\star}[/mm] ?
>
> [mm] $\IZ/15\IZ^{\star} [/mm] = [mm] \{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\}$
[/mm]
Ja, gemeint sind natürlich Restklassen [mm] $\overline{1}, [/mm] ...$
>
> Ordnung = 8 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Eine endliche Gruppe G der Ordnung [mm]n=|G|[/mm] ist genau dann
> zyklisch, wenn es ein Element [mm]g\in G[/mm] gibt mit [mm]ord(g)=n[/mm]
>
> Was ist denn das [mm]ord(g) = n[/mm] ? Wie berechne ich das bei den
> einzelnen Elementen?
Die Ordung eines Gruppenelementes $g$ ist die kleinste natürliche Zahl $k$ mit [mm] $g^k=\underbrace{g\cdot{}g\cdot{}....\cdot{}g}_{k-mal}=e$ [/mm] ($e$=neutr. Element)
Hier ist etwa [mm] $\overline{4}\cdot{}\overline{4}=\overline{4}^{\red{2}}=\overline{16}=\overline{1}$
[/mm]
[mm] $\red{2}$ [/mm] ist also die kleinste Potenz, so dass [mm] $\overline{4}^{\red{2}}=\overline{1}$ [/mm] ergibt, damit ist die Ordnung von [mm] $\overline{4}$ [/mm] also 2
Analog für die anderen Elemente ...
LG
schachuzipus
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Ok, jetzt hab ich mal für alle Elemente die Ordnung berechnet:
[mm] 2^{4} [/mm] = 16 => ord(2) = 4
[mm] 4^{2} [/mm] = 16 => ord(4) = 2
[mm] 7^{4} [/mm] = 2401 => ord(7) = 4
[mm] 8^{4} [/mm] = 4096 => ord(8) = 4
[mm] 11^{2} [/mm] = 121 => ord(11) = 2
[mm] 13^{8} [/mm] = 815730721 => ord(13) = 8
[mm] 14^{4} [/mm] = 38416 => ord(14) = 4
Ich hab das jetzt alles mit Taschenrechner berechnet und jeweils geschaut, ob das Modulo auch wirklich 1 ergibt. Für eine Klausur ist das aber nicht gerade geeignet, da man ja dort in aller Regel ohne Taschenrechner rechnet. Geht das auch irgendwie anders / schneller?
Ansonsten gibt es da diesen Satz:
Eine endliche Gruppe G der Ordnung n=|G| ist genau dann zyklisch, wenn es ein Element $ [mm] g\in [/mm] G $ gibt mit ord(g)=n
Wir haben 8 Elemente (Ordnung der Gruppe = 8) und es gibt ein Element (13), bei dem ord(13) = 8. Aber eigentlich sollte ich ja beweisen dass die Gruppe nicht zyklisch ist. Und hier kommt ein Widerspruch ... bzw. was ist an der Rechnung falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Fr 04.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich hab das jetzt alles mit Taschenrechner berechnet und
> jeweils geschaut, ob das Modulo auch wirklich 1 ergibt.
> Für eine Klausur ist das aber nicht gerade geeignet, da
> man ja dort in aller Regel ohne Taschenrechner rechnet.
> Geht das auch irgendwie anders / schneller?
Ja, geht es.
Nach dem chinesischen Restsatz ist [mm] $\IZ/15\IZ \cong \IZ/3\IZ \times \IZ/5\IZ$.
[/mm]
Weiterhin folgt daraus, dass [mm] $(\IZ/15\IZ)^\ast \cong (\IZ/3\IZ)^\ast \times (\IZ/5\IZ)^\ast$ [/mm] ist.
Nun sind 3 und 5 Primzahlen, womit [mm] $(\IZ/3\IZ)^\ast$ [/mm] zyklisch der Ordnung $2 = 3 - 1$ und [mm] $(\IZ/5\IZ)^\ast$ [/mm] zyklisch der Ordnung $4 = 5 - 1$ ist.
Du hast also [mm] $(\IZ/15\IZ)^\ast \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/4\IZ$.
[/mm]
Jetzt hast du doch sicher eine Aussage, die dir sagt, wann genau [mm] $\IZ/n\IZ \times \IZ/m\IZ$ [/mm] zyklisch ist.
LG Felix
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
siehe unten
