Zyklische Permutationen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | 1.11 Show that a power of a cycle need not be a cycle |
Ich beschaeftige mich gerade mit Gruppentheorie. Dazu benutze ich das Buch "An Introduction to the Theory of Groups" von Rotman.
Irgendwie haenge ich gerade fest. Die Aufgabe verlangt, dass man zeigt, dass die Potenz einer Zyklischen Permaution nicht zwigend wieder eine zyklische Permutation sein muss. (Sieht verdaechtig danach aus, dass man ein Gegenbeispiel bringt.)
Nun hier ist mein Problem, wie kann keine Permutation nicht zyklisch sein? Es geglingt mir nicht, eine nicht-zyklische Permutation zu konstruieren.
Wenn mir jemand wenisgsten ein Beispiel einer nicht nicht-zyklischen Permutation geben wuerde, so koennte ich weiter arbeiten.
Rotmans Definiton einer Permuation:
If $X$ is a nonempty set, a permutation of $X$ is a bijection $a: X [mm] \to [/mm] X$. We denote the set of all permutations of $X$ by [mm] $S_x$
[/mm]
If $X = [mm] \{1, 2, 3, ... , n\}$, [/mm] we write [mm] $S_n$.
[/mm]
Rotmans Definiton einer zyklischen Permuation:
1. If $x [mm] \in [/mm] X$ and $a [mm] \in S_X$, [/mm] then $a$ fixes $x$ if $a(x) = x$ and $a$ moves $x$ if $a(x) [mm] \not= [/mm] x$.
2. Let [mm] $i_1, i_2, [/mm] ... , [mm] i_r$ [/mm] be distinct integers between $1$ and $n$. If $a [mm] \in S_n$ [/mm] fixes the remaining $n - r$ integers and if
[mm] $a(i_1) [/mm] = [mm] i_2, a(i_2) [/mm] = [mm] i_3, [/mm] ... , [mm] a(i_{r-1}) [/mm] = [mm] i_r, a(i_r) [/mm] = [mm] i_1$,
[/mm]
then $a$ is an r-cycle. Denote $a$ by [mm] $(i_1 i_2 [/mm] ... [mm] i_r)$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> 1.11 Show that a power of a cycle need not be a cycle
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Betrachte
a(1)=2
a(2)=3
a(3)=4
a(4)=1
[mm] a^2(1)=3
[/mm]
[mm] a^2(2)=4
[/mm]
[mm] a^2(3)=1
[/mm]
[mm] a^2(4)=2
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] ist keine zyklische Permutation,
hier tauschen sowohl 1 und 3 als auch 2 und 4 ihre Plätze.
[mm] a^3 [/mm] ist dann wieder zyklisch.
LG Angela
|
|
|
|
