Zyklische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Do 17.10.2013 | | Autor: | arraneo |
Hallo,
Könnte sich bitte jemanden mein Beweis anschauen, um zu sehen ob es Fehler gibt ? Vielen Dank im Voraus!
Die Aufgabe lautet: Beweisen Sie, dass die nte Einheitswurzeln bilden eine zyklische Untergruppe von [mm] (\mathbb{C},*) [/mm]
Mein Beweis:
Ich habe den Beweis in 2 Teilen aufgeteilt, und zwar:erstens: um zu beweisen, dass H erstmal eine Untergruppe vom [mm] C^{\times} [/mm] ist und zweitens: dass diese Untergruppe zyklisch ist.
[mm] \\
[/mm]
[mm] \textbf{Teil I}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Wir definieren erstens die Menge $H$ folgendes:
[mm] H:=\{z^n=1 z\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{Z} \}
[/mm]
[mm] \item{Abgeschlossenheit: }$ \forall [/mm] \ [mm] z_1, z_2 \in [/mm] H \ [mm] \exists [/mm] \ k,l [mm] \in\mathbb{Z} [/mm] \ : \ [mm] z_1=z^k, [/mm] \ [mm] z_2=z^l [/mm] $
[mm] $\Rightarrow z_1z_2=z^kz^l=1\cdot [/mm] 1=1 [mm] \Rightarrow z_1z_2 \in [/mm] H $
[mm] \item{Existenz \ des \ neutralen \ Element:} [/mm] $ [mm] z^0=1 \in [/mm] H$
[mm] \item{Existenz \ des \ Inversen:} [/mm] Da $n$ in [mm] $\mathbb{N} [/mm] : [mm] \exists [/mm] \ [mm] z^{-n} \in [/mm] H : \ [mm] z^{-n}z^n=1$ [/mm] , für die [mm] $n\in\mathbb{N}: [/mm] \ [mm] z^{-1}=1 [/mm] $
Es folgt also daher, dass $H$ eine Untergruppe von [mm] $(\mathbb{C},*)$ [/mm] ist. .
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \textbf{Teil II} [/mm]
Wir behaupten, dass [mm] $z':=z^n$ [/mm] erzeugt H; Das heißt:
[mm] H=\langle z^n\rangle=\langle z'\rangle [/mm] .
Sei $n$ die kleinste Potenz , so dass [mm] z^n=1. [/mm] Wir müssen daher zeigen, dass für alle $x$ in $H$, $x$ ist eine Potenz vom $z'$.
Da [mm] $x\in [/mm] H$ und $ [mm] H\le (\mathbb{C},*)$, [/mm] wir haben [mm] $x=z^m$ [/mm] für einige [mm] $m\in\mathbb{Z}$. [/mm] Nun finden wir die $q$ und $r$ so dass:
m=nq+r , for [mm] 0\le [/mm] r<n .
[mm] $\Rightarrow z^m=z^{nq+r}=z^{nq}z^r=(z^n)^qz^r [/mm] $ , und daher
[mm] \\
[/mm]
[mm] $z^r=(z^n)^{-q}z^m$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Da [mm] $z^n\in [/mm] H$ und [mm] $z^m\in [/mm] H $ und $H$ ist eine Gruppe, beide [mm] $(z^n)^{-q}$ [/mm] und [mm] $z^m$ [/mm] sind in $H$.
[mm] \Rightarrow (z^n)^{-q}z^m\in [/mm] H [mm] \iff z^r\in [/mm] H
Da $n$ war die kleinste ganze Zahl mit: [mm] $z^n\in [/mm] H$ und [mm] $0\le [/mm] r<n$ $r$ muss 0 sein.
[mm] \Rightarrow [/mm] m=qn [mm] \Rightarrow x=z^m=(z^n)^q=(z')^q
[/mm]
Somit ist $x$ eine Potenz vom $z'$ .
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Wir haben also gezeigt, dass $H$ eine Untergruppe von [mm] $(\mathbb{C};*)$ [/mm] ist [Teil I] und dass diese Untergruppe auch eine zyklische Gruppe ist [Teil II]
[mm] $\Box$
[/mm]
Ist das ok?
danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Do 17.10.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> Könnte sich bitte jemanden mein Beweis anschauen, um zu
> sehen ob es Fehler gibt ? Vielen Dank im Voraus!
>
> Die Aufgabe lautet: Beweisen Sie, dass die nte
> Einheitswurzeln bilden eine zyklische Untergruppe von
> [mm](\mathbb{C},*)[/mm]
>
> Mein Beweis:
> Ich habe den Beweis in 2 Teilen aufgeteilt, und
> zwar:erstens: um zu beweisen, dass H erstmal eine
> Untergruppe vom [mm]C^{\times}[/mm] ist und zweitens: dass diese
> Untergruppe zyklisch ist.
>
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\textbf{Teil I}[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> Wir definieren erstens die Menge [mm]H[/mm] folgendes:
>
> [mm]H:=\{z^n=1 z\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{Z} \}[/mm]
Hier liegt ein Missverstaendnis vor: $n$ ist beliebig, aber fest, wie man manchmal so schoen sagt. Also sei [mm] $n\in \IN$. [/mm] Definiere $H:= [mm] \{z\in \IC|z^{n}= 1\}$ [/mm] (oder deutlicher [mm] $H_{n}:=\ldots$). [/mm] Fuer dieses $H$ musst Du die beiden Teile abarbeiten. Dein $H$ ist aber auch eine Gruppe, naemlich die Gruppe aller Einheitswurzeln; sie ist aber nicht zyklisch.
>
>
> [mm]\item{Abgeschlossenheit: }[/mm] [mm]\forall \ z_1, z_2 \in H \ \exists \ k,l \in\mathbb{Z} \ : \ z_1=z^k, \ z_2=z^l[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_1z_2=z^kz^l=1\cdot 1=1 \Rightarrow z_1z_2 \in H [/mm]
Abgesehen von obigem Fehler wuerde dies nicht die Abgeschlossenheit Deiner Menge $H$ bewiesen. Nirgendwo steht, dass sich Deine [mm] $z_{1}, z_{2}$ [/mm] also Potenz mit gemeinsamer Basis darstellen lassen: das ist nicht die definierende Eigenschaft Deiner Menge $H$. Du muesstest vielmehr zeigen, dass ausgehend von [mm] $z_{i}^{n_{i}}= [/mm] 1$, [mm] $n_{i}\in \IZ$, [/mm] $i=1,2$, es ein [mm] $n\in \IZ$ [/mm] gibt, sodass auch [mm] $(z_{1}z_{2})^{n}= [/mm] 1$ gilt. Dann waere [mm] $z_{1}z_{2}$ [/mm] in Deinem $H$ enthalten.
Aehnliches gilt fuer den nachfolgenden Text.
>
> [mm]\item{Existenz \ des \ neutralen \ Element:}[/mm] [mm]z^0=1 \in H[/mm]
>
Nein, nicht weil [mm] $z^{0}= [/mm] 1$ ist, folgt [mm] $1\in [/mm] $ Deinem $H$, sondern weil es ein [mm] $n\in \IZ$, [/mm] naemlich z.B. $n=1$, mit [mm] $1^{n}= [/mm] 1$ gibt, ist $1$ in Deinem $H$ enthalten.
> [mm]\item{Existenz \ des \ Inversen:}[/mm] Da [mm]n[/mm] in [mm]\mathbb{N} : \exists \ z^{-n} \in H : \ z^{-n}z^n=1[/mm]
> , für die [mm]n\in\mathbb{N}: \ z^{-1}=1[/mm]
>
>
> Es folgt also daher, dass [mm]H[/mm] eine Untergruppe von
> [mm](\mathbb{C},*)[/mm] ist. .
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\textbf{Teil II}[/mm]
>
> Wir behaupten, dass [mm]z':=z^n[/mm] erzeugt H; Das heißt:
>
> [mm]H=\langle z^n\rangle=\langle z'\rangle[/mm] .
>
> Sei [mm]n[/mm] die kleinste Potenz , so dass [mm]z^n=1.[/mm] Wir müssen
> daher zeigen, dass für alle [mm]x[/mm] in [mm]H[/mm], [mm]x[/mm] ist eine Potenz vom
> [mm]z'[/mm].
>
> Da [mm]x\in H[/mm] und [mm]H\le (\mathbb{C},*)[/mm], wir haben [mm]x=z^m[/mm] für
> einige [mm]m\in\mathbb{Z}[/mm]. Nun finden wir die [mm]q[/mm] und [mm]r[/mm] so dass:
>
> m=nq+r , for [mm]0\le[/mm] r<n .
>
>
> [mm]\Rightarrow z^m=z^{nq+r}=z^{nq}z^r=(z^n)^qz^r[/mm] , und daher
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]z^r=(z^n)^{-q}z^m[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> Da [mm]z^n\in H[/mm] und [mm]z^m\in H[/mm] und [mm]H[/mm] ist eine Gruppe, beide
> [mm](z^n)^{-q}[/mm] und [mm]z^m[/mm] sind in [mm]H[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow (z^n)^{-q}z^m\in[/mm] H [mm]\iff z^r\in[/mm] H
>
> Da [mm]n[/mm] war die kleinste ganze Zahl mit: [mm]z^n\in H[/mm] und [mm]0\le r
> [mm]r[/mm] muss 0 sein.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] m=qn [mm]\Rightarrow x=z^m=(z^n)^q=(z')^q[/mm]
>
> Somit ist [mm]x[/mm] eine Potenz vom [mm]z'[/mm] .
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>
> Wir haben also gezeigt, dass [mm]H[/mm] eine Untergruppe von
> [mm](\mathbb{C};*)[/mm] ist [Teil I] und dass diese Untergruppe auch
> eine zyklische Gruppe ist [Teil II]
>
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das ok?
>
> danke :)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 17.10.2013 | | Autor: | arraneo |
hey.
da hast du bestimmt irgendwas falsch verstanden, die Gruppe H ist zyklisch, ob mein Beweis dich davon nicht überzeugt ist eine, aber die Gruppe ist allerdings zyklisch!!!
außerdem wie wechselst du so n mit z ?! das verstehe ich nicht.. übrigens n ist zwar beliebig aber NICHT fest, es gibt mehrere n wofür es gilt : [mm] z^n=1. [/mm] Wir nehmen aber die kleinste von diesen Zahlen..
also der Missverständnis liegt leider an Dir..
cheers
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> hey.
>
> da hast du bestimmt irgendwas falsch verstanden, die Gruppe
> H ist zyklisch, ob mein Beweis dich davon nicht überzeugt
> ist eine, aber die Gruppe ist allerdings zyklisch!!!
>
> außerdem wie wechselst du so n mit z ?! das verstehe ich
> nicht.. übrigens n ist zwar beliebig aber NICHT fest, es
> gibt mehrere n wofür es gilt : [mm]z^n=1.[/mm] Wir nehmen aber die
> kleinste von diesen Zahlen..
>
> also der Missverständnis liegt leider an Dir..
Ich kann mich hippias nur anschließen: gemeint ist (bei festem n):
$ H:= [mm] \{z\in \IC|z^{n}= 1\} [/mm] $
FRED
>
> cheers
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 17.10.2013 | | Autor: | arraneo |
Hallo Fred!;
das stimmt, mein Fehler, sorry :)
Aber die Gruppe ist trotzdem zyklisch!
also lass mich das dann anders machen:
Sei [mm] H:=\{\zeta\in C \slash \zeta^n=1\} [/mm] für [mm] n\in [/mm] Z, bel. aber fest.
Sei nun [mm] \zeta=e^{2\pi i /n} [/mm] , woran man sieht, dass [mm] \zeta^n=1, [/mm] wobei [mm] \zeta [/mm] erzeugt eine zyklische Untergruppe von [mm] C^{\times} [/mm] vom Grad n und die besteht aus n verschiedenen Elemente (Lösungen der Gleichung [mm] \zeta^n-1=0) [/mm] in der Form [mm] \zeta^k. [/mm]
Wir defieren also [mm] H:=\{ \zeta^k=e^{2\pi k i /n }: 0\le k
1. H ist abgeschloßen unter * , denn :
Sei [mm] \zeta^k [/mm] und [mm] \zeta^l \in [/mm] H, mit [mm] 0\le [/mm] k, l<n
[mm] \Rightarrow \zeta^k*\zeta^l= e^{2\pi k i /n } \cdot e^{2\pi l i /n }=e^{(2\pi ki + 2\pi l i)/n}=e^{[2\pi i (k+l)] / n}
[/mm]
Da (+) bildet mit Z eine [mm] Gruppe\Rightarrow [/mm] (k+l) ist abgeschlossen unter (Z,+) also gehört zu (Z,+).
Sei m=k+l [mm] \in [/mm] Z [mm] \Rightarrow \zeta^k*\zeta^l=e^{[2\pi i m] / n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\zeta^k*\zeta^l)^n=(e^{[2\pi i m] / n})^n=e^{2\pi m i}=1 \in [/mm] H (Mit De Moivre's Satz)
2. Neutrales Element: für k=0 : [mm] \zeta^k=e^{(2\pi i *0)/n }=e^0=1 \in [/mm] H.
3. Inverses: Für jedes [mm] \zeta^k\in [/mm] H [mm] \exists \zeta^{-k}=e^{[2\pi k i] / -n}\in [/mm] H so dass: [mm] \zeta^k*\zeta^{-k}=e^{[2\pi k i] / n}*e^{[2\pi k i] / -n}=e^{0/n}=1 \in [/mm] H
Aus : 1,2 und 3 folgt, dass H eine Untergruppe von (C,*) ist.
Teil 2:
Wir behaupten, dass [mm] \zeta [/mm] H erzeugt, sprich: [mm] <\zeta>=H [/mm] .
Da jedes Element in H ist der Form: [mm] \zeta^k, [/mm] wir können sehr leicht sehen, dass [mm] \zeta^k [/mm] eine Potenz von [mm] \zeta [/mm] ist, und zwar:
[mm] \zeta^k=e^{[2\pi k i] / n}= (e^k)^{[2\pi i] / n}
[/mm]
Es folgt also daher dass meine Menge H doch eine zyklisch Untergruppe von (C,*) ist , oder?
danke :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 17.10.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo Fred!;
>
> das stimmt, mein Fehler, sorry :)
>
> Aber die Gruppe ist trotzdem zyklisch!
>
> also lass mich das dann anders machen:
>
> Sei [mm]H:=\{\zeta\in C \slash \zeta^n=1\}[/mm] für [mm]n\in[/mm] Z, bel.
> aber fest.
>
> Sei nun [mm]\zeta=e^{2\pi i /n}[/mm] , woran man sieht, dass
> [mm]\zeta^n=1,[/mm] wobei [mm]\zeta[/mm] erzeugt eine zyklische Untergruppe
> von [mm]C^{\times}[/mm] vom Grad n und die besteht aus n
> verschiedenen Elemente (Lösungen der Gleichung
> [mm]\zeta^n-1=0)[/mm] in der Form [mm]\zeta^k.[/mm]
>
> Wir defieren also [mm]H:=\{ \zeta^k=e^{2\pi k i /n }: 0\le k
>
> 1. H ist abgeschloßen unter * , denn :
>
> Sei [mm]\zeta^k[/mm] und [mm]\zeta^l \in[/mm] H, mit [mm]0\le[/mm] k, l<n
>
> [mm]\Rightarrow \zeta^k*\zeta^l= e^{2\pi k i /n } \cdot e^{2\pi l i /n }=e^{(2\pi ki + 2\pi l i)/n}=e^{[2\pi i (k+l)] / n}[/mm]
>
> Da (+) bildet mit Z eine [mm]Gruppe\Rightarrow[/mm] (k+l) ist
> abgeschlossen unter (Z,+) also gehört zu (Z,+).
>
> Sei m=k+l [mm]\in[/mm] Z [mm]\Rightarrow \zeta^k*\zeta^l=e^{[2\pi i m] / n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (\zeta^k*\zeta^l)^n=(e^{[2\pi i m] / n})^n=e^{2\pi m i}=1 \in[/mm]
> H (Mit De Moivre's Satz)
>
> 2. Neutrales Element: für k=0 : [mm]\zeta^k=e^{(2\pi i *0)/n }=e^0=1 \in[/mm]
> H.
>
> 3. Inverses: Für jedes [mm]\zeta^k\in[/mm] H [mm]\exists \zeta^{-k}=e^{[2\pi k i] / -n}\in[/mm]
> H so dass: [mm]\zeta^k*\zeta^{-k}=e^{[2\pi k i] / n}*e^{[2\pi k i] / -n}=e^{0/n}=1 \in[/mm]
> H
>
> Aus : 1,2 und 3 folgt, dass H eine Untergruppe von (C,*)
> ist.
>
> Teil 2:
>
> Wir behaupten, dass [mm]\zeta[/mm] H erzeugt, sprich: [mm]<\zeta>=H[/mm] .
>
> Da jedes Element in H ist der Form: [mm]\zeta^k,[/mm] wir können
> sehr leicht sehen, dass [mm]\zeta^k[/mm] eine Potenz von [mm]\zeta[/mm] ist,
> und zwar:
>
> [mm]\zeta^k=e^{[2\pi k i] / n}= (e^k)^{[2\pi i] / n}[/mm]
>
> Es folgt also daher dass meine Menge H doch eine zyklisch
> Untergruppe von (C,*) ist , oder?
>
> danke :D
Ja, weil Du jetzt hast die richtige Untergruppe untersucht hast. Aber die Untergruppe in Deinem ersten Beitrag war nicht zyklisch, denn jedes ihrer Elemente hatte endliche Ordnung, die Gruppe insgesamt enthielt aber unendlich viele Elemente.
Aber Achtung! Du hast gezeigt, dass die Menge [mm] $\{\zeta^{k}|0\leq k\leq n-1\}$ [/mm] gleich der [mm] $\zeta$ [/mm] erzeugten Gruppe ist. Aber die Aufgabenstellung war strenggenommen eine andere: Du solltest zeigen, dass die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln eine zyklische Gruppe ist. Du wechselst im Laufe des Beweises die Definition von $H$. Das sollstest Du in Ordnung bringen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:30 Fr 18.10.2013 | | Autor: | arraneo |
Hallo,
danke, ja.
Zu deinem Kommentar, ich sehe das Problem nicht wirklich. Wenn mit k=0 anfange, dann ist [mm] \zeta^0=1, [/mm] also das neutrale Element, wenn ich aber mit k=1 anfange bis n selbst, dann ist [mm] \zeta^n=1, [/mm] also das neutrale Element.
Ich habe in beiden Fälle n Elemente und in beiden Fälle ist die Gruppe vom Grad n, denn n ist die kleinste ganze Zahl, mit [mm] \zeta^n=1 [/mm] und per Definition der zyklischen Gruppen, n ist der Grad der Gruppe.
oder habe ich wieder was falsches verstanden?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Fr 18.10.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> danke, ja.
>
> Zu deinem Kommentar, ich sehe das Problem nicht wirklich.
> Wenn mit k=0 anfange, dann ist [mm]\zeta^0=1,[/mm] also das neutrale
> Element, wenn ich aber mit k=1 anfange bis n selbst, dann
> ist [mm]\zeta^n=1,[/mm] also das neutrale Element.
>
> Ich habe in beiden Fälle n Elemente und in beiden Fälle
> ist die Gruppe vom Grad n, denn n ist die kleinste ganze
> Zahl, mit [mm]\zeta^n=1[/mm] und per Definition der zyklischen
> Gruppen, n ist der Grad der Gruppe.
>
> oder habe ich wieder was falsches verstanden?
Das kann ich nicht genau sagen, vielleicht habe ich auch etwas uebersehen. In jedem Fall hast Du, strenggenommen, nicht die Aufgabenstellung bearbeitet. Aber mit dem, was Du bisher erreicht hast, ist sie nicht schwierig zu loesen. Sei also $H= [mm] \{\zeta^{k}|0\leq k\leq n-1\}$ [/mm] und sei $X:= [mm] \{z\in \IC|z^{n}= 1\}$ [/mm] (= Menge der $n$-ten Einheitswurzeln) fuer unser fest gewaehltes $n$. Du hast gezeigt, dass $H= [mm] <\zeta>$ [/mm] gilt. Aber eigentlich muesstest Du doch nachweisen, dass $X$ zyklische Gruppe ist. Das ist aber klar, wenn Du z.B. $X= H$ beweist - was Dir vermutlich nicht schwer fallen wird.
>
> danke
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:38 Fr 18.10.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey :)
Ich bin der Meinung dass ich die Aufgabe auch strenggenommen bewiesen habe, selbst wenn ich die Menge umgeschrieben habe, man merkt trotzdem , dass die Menge H alle Einheitswurzeln enthält.
Damit wir dann aber alle damit klar kommen , hier ist den Beweis, dass X=H ist:
1. [mm] X\subseteq [/mm] H
Mit Euler's Formel wissen wir ja, dass jedes [mm] z\in [/mm] C ist der Form: [mm] z=x+iy=|z|(cosx+isinx)=|z|e^{ix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall z\in [/mm] X: |z|=1 and x= [mm] (2\pi [/mm] k)/n, da [mm] z^n=1. [/mm]
[mm] \Rightarrow \forall z\in [/mm] X : [mm] z=e^{(2\pi i k)/n}=\zeta^k, [/mm] für ein festes n und [mm] 0\le [/mm] k<n.
[mm] \Rightarrow \forall z\in [/mm] X: [mm] z\in [/mm] H.
2. [mm] H\subseteq [/mm] X
Da [mm] \forall \zeta^k\in [/mm] H: [mm] \zeta^k=e^{(2\pi i k)/n} [/mm] es folgt , dass für alle k: [mm] 0\le [/mm] k<n : [mm] (\zeta^k)^n=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \zeta^k\in [/mm] H : [mm] \zeta^k\in [/mm] X
Aus 1 und 2 folgt es daher, dass Z=H.
ist jetzt alles erledigt ?
danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 20.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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