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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 So 02.12.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe. Hat G für jeden Teiler d von |G| höchstens eine Untergruppe der Ordnung d, so ist G zyklisch. |
Guten Abend,
ich habe versucht den obigen Satz zu beweisen. Leider komme ich nicht wirklich weiter. Ich habe folgendes versucht:Sei G eine endliche Gruppe mit Ordnung n. Sei U eine Untergruppe von G mit Ordnung d, wobei d der kleinste echte Teiler von |G| sein soll. Sei f: U [mm] \to [/mm] G, u [mm] \mapsto gug^{-1}. [/mm] f ist ein injektiver Homomorphismus und somit gilt: U [mm] \cong gUg^{-1}. [/mm] Da es nur eine Untergruppe gibt ist sogar U = [mm] gUg^{-1} [/mm] und somit U ein Normalteiler von G. Dann hat die Gruppe G/U die Ordnung [mm] \bruch{n}{d}. [/mm] Nun könnte man das ganze wieder auf G/U anwenden. Allerdings habe ich keine Ahnung ob mir das in irgendeinerweise etwas bringt. Stimmt das überhaupt was ich da versucht habe?
Liebe Grüße,
Diab91
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> Sei G eine endliche Gruppe. Hat G für jeden Teiler d von
> |G| höchstens eine Untergruppe der Ordnung d, so ist G
> zyklisch.
> Guten Abend,
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> ich habe versucht den obigen Satz zu beweisen. Leider komme
> ich nicht wirklich weiter. Ich habe folgendes versucht:Sei
> G eine endliche Gruppe mit Ordnung n. Sei U eine
> Untergruppe von G mit Ordnung d, wobei d der kleinste echte
> Teiler von |G| sein soll. Sei f: U [mm]\to[/mm] G, u [mm]\mapsto gug^{-1}.[/mm]
> f ist ein injektiver Homomorphismus und somit gilt: U [mm]\cong gUg^{-1}.[/mm]
> Da es nur eine Untergruppe gibt ist sogar U = [mm]gUg^{-1}[/mm] und
> somit U ein Normalteiler von G. Dann hat die Gruppe G/U die
> Ordnung [mm]\bruch{n}{d}.[/mm] Nun könnte man das ganze wieder auf
> G/U anwenden. Allerdings habe ich keine Ahnung ob mir das
> in irgendeinerweise etwas bringt. Stimmt das überhaupt was
> ich da versucht habe?
>
> Liebe Grüße,
> Diab91
Sei G eine endliche Gruppe mit |G|=n.
Ziel: Existenz eines Elementes [mm] $h\in [/mm] G$ mit Ordnung n.
Man kann das abstrakter ohne den inneren Automorphismus machen.
1.Schritt
Sei [mm]d\mid |G|[/mm] für eine endliche Gruppe. Ist [mm]g\in G[/mm] ein Element der Ordnung d, so erzeugt [mm]\langle g\rangle = U\leq G[/mm].
Da U einzige Ungruppe mit Ordnung d , sind alle Elemente der Ordnung d drin.
Wegen G zyklisch, gibt es [mm]\phi(d)[/mm] oder kein Element der Ordnung d.
2. Schritt
Fehlt noch: #Elemente der Ordnung d ist [mm]\leq \phi(d)[/mm] für jeden Teiler d | |G|:
Sei [mm]H_d[/mm] Menge aller Elemente von G mit Ordnung d. Dann gibt es eine Zerlegung von [mm]G=\bigcup \ldots [/mm] mit Satz von Lagrange und es ist [mm]n=|G|=\sum_{d\mid n} |H_d|\leq \sum_{d\mid n} \phi(n) = n[/mm]
Was ist mit [mm]|H_n|[/mm]?
Jetzt du.
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