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| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN_{\ge 3} [/mm] und [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta \in S_{n} [/mm] mit
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\ n & 1 & 2 & ... & n-1 } [/mm] und [mm] \beta [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\ n & n-1 & n-2 & ... & 1 }
[/mm]
Zeigen SIe folgende Behauptung:
[mm] \alpha^{n} [/mm] = [mm] \beta^{2} [/mm] = id und [mm] \beta \alpha [/mm] = [mm] \alpha^{-1} \beta [/mm] |
Hallo,
ich fange mal mit der (vermeintlich) leichteren Behauptung [mm] \beta \alpha [/mm] = [mm] \alpha^{-1} \beta [/mm] an:
Kann ich ohne Beweis behaupten, dass [mm] \alpha^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\ 2 & 3 & 4 & ... & 1 } [/mm] ist für alle n [mm] \in \IN_{\ge 3} [/mm] ? Das muss ja das Inverse sein, weil [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\ 2 & 3 & 4 & ... & 1 }\pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\ n & 1 & 2 & ... & n-1 } [/mm] = id.
Falls ja muss ich ja nur die beiden Rechnungen durchführen und bin fertig.
Nun zum schwierigeren Teil:
[mm] \beta^{2} [/mm] = id, dass ist wieder leicht zu zeigen, indem man [mm] \beta [/mm] einfach mit sich selbst verknüpft.
Bei [mm] \alpha^{n} [/mm] habe ich mich mit n=3 und n=4 davon überzeugt, dass auch diese Behauptung stimmt, aber ich muss es ja für alle n [mm] \ge [/mm] 3 zeigen, was ja nach vollst. Induktion schreit:
IA
n=3 [mm] \alpha^{3} [/mm] = [mm] (\alpha^{2} )\alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }^{2} \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] = id
IV
[mm] \alpha^{n} [/mm] = id gelte für ein n [mm] \in \IN_{\ge 3}
[/mm]
IS
[mm] \alpha^{n+1} [/mm] = [mm] \alpha^{n}\alpha [/mm] = ... = id
und hier ist mein Problem: das [mm] \alpha [/mm] ja jetzt bis n+1 geht, kann ich die Induktionsvor. ja nicht so ohne weiteres einsetzen. Wie kann ich das Problem lösen?
Ciao
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Die aufgezählten Eigenschaften sind die der Diedergruppe. Nur so nebenbei. Wobei [mm]\alpha[/mm] die Drehungen und [mm]\beta[/mm] die Spiegelung ist.
> Seien n [mm]\in \IN_{\ge 3}[/mm] und [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta \in S_{n}[/mm] mit
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\
n & 1 & 2 & ... & n-1 }[/mm]
> und [mm]\beta[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\
n & n-1 & n-2 & ... & 1 }[/mm]
>
> Zeigen SIe folgende Behauptung:
>
> [mm]\alpha^{n}[/mm] = [mm]\beta^{2}[/mm] = id und [mm]\beta \alpha[/mm] = [mm]\alpha^{-1} \beta[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich fange mal mit der (vermeintlich) leichteren Behauptung
> [mm]\beta \alpha[/mm] = [mm]\alpha^{-1} \beta[/mm] an:
> Kann ich ohne Beweis behaupten, dass [mm]\alpha^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\
2 & 3 & 4 & ... & 1 }[/mm]
> ist für alle n [mm]\in \IN_{\ge 3}[/mm] ? Das muss ja das Inverse
> sein, weil [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\
2 & 3 & 4 & ... & 1 }\pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n \\
n & 1 & 2 & ... & n-1 }[/mm]
> = id.
> Falls ja muss ich ja nur die beiden Rechnungen
> durchführen und bin fertig.
Man sieht es ja eigentlich. Alternativ kannst du auch eine Fallunterscheidung durchführen:
[mm] $\alpha(t)=\begin{cases} t-1, & \mbox{fuer } t>1 \\ n, & \mbox{fuer } t=1 \end{cases}$ [/mm] und [mm] $\alpha^{-1}(t)=\begin{cases} t+1, & \mbox{fuer } t
[mm] $\beta [/mm] (t) = n-t+1$
Fallunterscheidung
t=1
[mm] $(\beta \circ \alpha [/mm] ) [mm] (t)=\beta [/mm] (1)=n$ ...
[mm] $t\neq [/mm] 1$
>
>
> Nun zum schwierigeren Teil:
> [mm]\beta^{2}[/mm] = id, dass ist wieder leicht zu zeigen, indem
> man [mm]\beta[/mm] einfach mit sich selbst verknüpft.
> Bei [mm]\alpha^{n}[/mm] habe ich mich mit n=3 und n=4 davon
> überzeugt, dass auch diese Behauptung stimmt, aber ich
> muss es ja für alle n [mm]\ge[/mm] 3 zeigen, was ja nach vollst.
> Induktion schreit:
Das geht nicht wirklich, wie du schon festgestellt hast. Mit anderen Worten sollst du zeigen, dass die Ordnung eines Zykels = Länge des Zykels ist. [mm]\alpha(t)=\begin{cases} t-1, & \mbox{fuer } t>1 \\
n, & \mbox{fuer } t=1 \end{cases}[/mm]
Normalerweise kann man da das Wort offensichtlich gebrauchen.
Für [mm]1
>
> IA
> n=3 [mm]\alpha^{3}[/mm] = [mm](\alpha^{2} )\alpha[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 }^{2} \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 }\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 }[/mm] = id
>
> IV
> [mm]\alpha^{n}[/mm] = id gelte für ein n [mm]\in \IN_{\ge 3}[/mm]
>
> IS
> [mm]\alpha^{n+1}[/mm] = [mm]\alpha^{n}\alpha[/mm] = ... = id
>
> und hier ist mein Problem: das [mm]\alpha[/mm] ja jetzt bis n+1
> geht, kann ich die Induktionsvor. ja nicht so ohne weiteres
> einsetzen. Wie kann ich das Problem lösen?
>
>
> Ciao
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Hi wieschoo,
hast mich weitergebracht, danke für die Tipps.
> Normalerweise kann man da das Wort offensichtlich
> gebrauchen.
> Für [mm]1
> (hoffentlich habe ich die Indizies nicht durcheinander
> gebracht) und man sieht [mm]\alpha^n=id[/mm].
Das versteh ich leider nicht (wo kommt da die 5 her?).
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 So 28.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hab ich es doch verhauen:
[mm] \alpha(t_m)^k=t_{m-\green{k}}\neq t_m,\; \textrm{fuer } 1
Hoffe, dass es jetzt passt.
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