Zwischenwertsatz für Ableitung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Do 20.09.2007 | | Autor: | Framl |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] eine im Intervall [mm] $I\subset\mathbb{R}$ [/mm] (nicht notwendigerweise stetig) differenzierbare Funktion. Man zeige: Für die Funktion [mm] $f':I\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] gilt der Zwischenwertsatz, d.h. sind [mm] $x_1,x_2\in [/mm] I$ und [mm] $c\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $f'(x_1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen.
Ich bleibe bei dieser Aufgabe hängen. Ich hatte folgenden Ansatz:
Der MWS garantiert mir ein [mm] $x_0\in (x_1,x_2)\subset [/mm] I$ mit [mm] $f'(x_0)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=:c$. [/mm] Dann müsste ich aber noch nachweisen, dass aus [mm] $f'(x_1)c$, [/mm] oder?
ist dieser Ansatz richtig oder muss ich es ganz anders machen?
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Hi!
Also ich glaub der Mittelwertsatz passt hier nicht, da du ja zu einem vorgegebenen Wert c der Ableitung ein [mm] x_{0} [/mm] finden mußt. Der Mittelwertsatz garantiert dir nur dass es einen Punkt [mm]x_{1}[/mm] gibt, der der Steigung der Sekante entspricht.
Ich würde das ganze mit dem Satz von Weierstraß angehen der besagt:
"Ist [mm]f:[a,b]\rightarrow\IR[/mm] stetig, so gibt es Stellen [mm]\alpha,\beta\in[a,b][/mm] mit
[mm]f(\alpha)\le f(x) \le f(\beta) \quad \forall x\in[a,b] [/mm]"
(Kurzgesagt: Eine auf einer kompakten Menge definierte stetige Funktion nimmt ihren größten und kleinsten Funktionswert an.)
Ferner gilt:
"[mm]f:D\rightarrow\IR[/mm] diff'bar in a [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig in a"
Wähle nun als Ansatz: [mm]g(x)=f(x)-cx[/mm].
Dann ist g diff'bar und stetig auf [mm][x_{1},x_{2}][/mm] und nach dem Satz von Weierstraß nimmt g auf diesem Intervall sein Minimum an.
Wegen [mm]g'(x_{1})<0\quad(g'(x)=f'(x)-c, f'(x_{1})0 \quad (f'(x_{2})>c) [/mm] hat g am Rand lokale Maxima.
Dann muss g sein Minimum in einem inneren Punkt [mm]x_{0}\in(x_{1},x_{2})[/mm] annehmen und da g diff'bar muss dort gelten: [mm]g'(x_{0})=0 \gdw f'(x_{0})-c=0 \gdw f'(x_{0})=c[/mm]
[mm]\Box[/mm]
Gruß
Deuterinomium
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Bitte!
Aber, ich meine trotzdem g(x)=f(x)-cx, sonst verlierst du das c bei der Ableitung!
Gruß
Deuterinomium
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Hallo! Dies ist mein erster Beitrag hier. Ich hoffe es stört nicht, dass ich dieses ziemlich alte Topic wiederaufgreife - aber die Mathematik ändert sich ja nicht also ist immer alles gleich aktuell xD.
Ich habe eine Frage zur Antwort von Deuterinomium:
Warum folgt aus [mm] g'(x_{1}) [/mm] < 0 und [mm] g'(x_{2}) [/mm] > 0, dass dies lokale Maxima sind, also es bestimmt noch kleinere Werte gibt? Da die Ableitung nicht stetig sein muss, kann man ja nichts über die Umgebung von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] sagen, also kann man z.B. nicht sagen, dass die Funktion in der nähe dieser Punkte monoton Fällt oder wächst, also es Punkte p [mm] \in [x_{1}, x_{2}] [/mm] mit g(p) < [mm] g(x_{1}) [/mm] und [mm] g(x_{2}) [/mm] geben muss...
Oder doch? Wenn ja warum?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo Arachanox,
> Hallo! Dies ist mein erster Beitrag hier.
Na, dann ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Warum folgt aus [mm]g'(x_{1})[/mm] < 0 und [mm]g'(x_{2})[/mm] > 0, dass dies lokale Maxima sind, also es bestimmt noch kleinere Werte
> gibt?
g'(x)<0 bedeutet, dass g in x (streng) monoton fallend ist,
g'(x)>0 bedeutet, dass g in x (streng) monoton steigend ist.
Bei [mm] x_1,x_2 [/mm] handelt es sich zusätzlich um Randpunkte des Definitionsbereichs, deswegen kann man auf lokale Maxima schließen.
LG
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