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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 03.11.2009 | | Autor: | S11m00n |
| Aufgabe | | Zeige: Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es immer eine rationale Zahl. |
Ich wäre für jeden Ansatz (gerne auch etwas ausführlicher) extrem dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Eigentlich werden in diesem Forum Lösungsansätze erwartet. Aber ich halte diese Aufgabe für eine zu schwere Übungsaufgabe (für junge Leute im 1. Semester).
Daher eine Lösung:
Seien x,y [mm] \in \IR [/mm] und x<y.
Dann ist y-x>0. Es gibt ein n [mm] \in \IN [/mm] mit $1/n < y-x$, also
$x+1/n <y.$
Setze nun m:= [nx] (Gauß-Klammer). Es ist also m [mm] \le [/mm] nx > m+1. Somit:
[mm] $\bruch{m}{n} \le [/mm] x < [mm] \bruch{m}{n}+\bruch{1}{n} \le [/mm] x [mm] +\bruch{1}{n} [/mm] <y$
Setze nun $r := [mm] \bruch{m}{n}+\bruch{1}{n}$. [/mm] Dann ist r [mm] \in \IQ [/mm] und x < r <y.
FRED
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