Zwischenkörper Galoiserw. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 22.07.2008 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei L/K endliche Galoiserweiterung und [mm] H\subset [/mm] Gal(L/K) eine UG.
Sei [mm] a\in [/mm] L. Es gelte für [mm] \sigma \in [/mm] Gal(L/K), dass [mm] \sigma(a)=a [/mm] äquivalent zu [mm] \sigma\in [/mm] H. Man zeige [mm] L^{H}=K(a) [/mm] |
Hallo :),
sitze gerade an der Aufgabe und komme nicht weiter.
Also die Aussage macht an sich Sinn, wenn man sich die Definition von Fixkörpern anschaut. Aber ich weiß nicht, wie man das richtig beweist.
Aus [mm] \sigma(a)=a [/mm] für alle [mm] \sigma \in [/mm] H folgt [mm] K(a)\subseteq L^{H}. [/mm] Und andersrum?
Steh auf dem Schlauf. Wäre super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Danke !
VG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> Sei L/K endliche Galoiserweiterung und [mm]H\subset[/mm] Gal(L/K)
> eine UG.
> Sei [mm]a\in[/mm] L. Es gelte für [mm]\sigma \in[/mm] Gal(L/K), dass
> [mm]\sigma(a)=a[/mm] äquivalent zu [mm]\sigma\in[/mm] H. Man zeige
> [mm]L^{H}=K(a)[/mm]
>
> sitze gerade an der Aufgabe und komme nicht weiter.
> Also die Aussage macht an sich Sinn, wenn man sich die
> Definition von Fixkörpern anschaut. Aber ich weiß nicht,
> wie man das richtig beweist.
> Aus [mm]\sigma(a)=a[/mm] für alle [mm]\sigma \in[/mm] H folgt [mm]K(a)\subseteq L^{H}.[/mm]
> Und andersrum?
Mach's doch so: da $K(a)$ ein Zwischenkoerper ist gibt's eine Unterguppe $H'$ von $Gal(L/K)$ mit $K(a) = [mm] L^{H'}$. [/mm] Ziel ist jetzt $H = H'$ zu zeigen.
Wegen der Galois-Korrespondenz gilt jetzt $H' = [mm] \{ \varphi \in Gal(L/K) \mid \varphi|_{K(a)} = id_{K(a)} \}$.
[/mm]
Kommst du weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
danke für deine schnelle Antwort,
denke schon, das es mich weitergebracht hat, weiß nur nicht, ob das so stimmt. Als meine Argumentation lautet:
[mm] \sigma(a)=a [/mm] für alle [mm] \sigma\in [/mm] H
[mm] \Rightarrow \sigma|_{K(a)}=id_{K(a)} [/mm] für alle [mm] \sigma\in [/mm] H
[mm] \Rightarrow [/mm] H=Gal(L/K(a))
[mm] \Rightarrow L^{H}=K(a), [/mm] da L/K(a) galoissch (weil K(a) Zwischenkörper von L)
Stimmt das so ?
VG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 23.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> danke für deine schnelle Antwort,
> denke schon, das es mich weitergebracht hat, weiß nur
> nicht, ob das so stimmt. Als meine Argumentation lautet:
> [mm]\sigma(a)=a[/mm] für alle [mm]\sigma\in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow \sigma|_{K(a)}=id_{K(a)}[/mm] für alle [mm]\sigma\in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow[/mm] H=Gal(L/K(a))
Bis hierhin hast du nur $H [mm] \subseteq [/mm] Gal(L/K(a))$. Fuer die andere Inklusion betachte
[mm] $\sigma(a) \neq [/mm] a$ fuer alle [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \setminus [/mm] H$
[mm] $\Rightarrow \sigma|_{K(a)} \neq id_{K(a)}$ [/mm] fuer alle [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \setminus [/mm] H$
[mm] $\Rightarrow [/mm] Gal(L/K(a)) [mm] \subseteq [/mm] H$.
> [mm]\Rightarrow L^{H}=K(a),[/mm] da L/K(a) galoissch (weil K(a)
> Zwischenkörper von L)
Der Rest stimmt dann.
LG Felix
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