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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mo 23.04.2007 | | Autor: | GeorgIV |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrema! |
Hallo zusammen!
Ich habe zwei kleine Probleme und hoffe, ihr könntet mir eventuell helfen.
Bei folgenden Funktionen soll ich die Extremwerte ermitteln. Das ist an sich nicht das Problem, sondern die zweite Ableitung zu bilden. Hier die beiden Funktionen:
- (3x) / (x²-1) und
- (2x) / (x²+1)
Die erste Ableitung ist kein Problem:
(3x²+3) / (x²-1)² und
(2x²-2) / (x²+1)²
Laut Quotientenregel gilt ja: (u*v u*v) / v²
Und irgendwo im Folgenden muss mein Fehler sein:
Für die erste Funktion:
u=3x²+3
u=6x
v=(x²-1)² = [mm] x^4-2x+1
[/mm]
v=2(x²-1)*2x = 4x³-4x
[mm] v²=(x²-1)^4
[/mm]
Theoretisch müsste ich auf folgendes Ergebnis kommen, aber es gelingt mir einfach nicht.
(-6x³-18x) / (x²-1)³
Bei der zweiten hab ich u, u, v, v und v² genauso abgeleitet wie oben (mit denselben Rechnungen, nur anderen Werten), aber auch hier komm ich nicht auf das richtige Ergebnis, das wie folgt lauten sollte:
[mm] (-4x^5+8x³+12x) [/mm] / [mm] (x^4+2x²+1)²
[/mm]
Mir ist hier ohnehin schleierhaft, warum sich gerade die Werte im Nenner bei beiden Aufgaben der zweiten Ableitung so unterscheiden. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen und sagen, wo meine Fehler liegen könnte.
Gruß,
Georg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mo 23.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin schorschi,
> Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrema!
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe zwei kleine Probleme und hoffe, ihr könntet mir
> eventuell helfen.
>
> Bei folgenden Funktionen soll ich die Extremwerte
> ermitteln. Das ist an sich nicht das Problem, sondern die
> zweite Ableitung zu bilden. Hier die beiden Funktionen:
>
> - (3x) / (x²-1) und
> - (2x) / (x²+1)
f(x)= [mm] \bruch{-3x}{(x^2-1)}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{-3*(x^2-1) - (-3x)*2x}{(x^2-1)^2}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{-3x^2+3+6x^2}{(x^2-1)^2}
[/mm]
ah ja, ich sehe!
f'(x)= [mm] \bruch{3x^2+3}{(x^2-1)^2} [/mm]
***
für g(x) = [mm] \bruch{-2x}{(x^2+1)}
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{-2*(x^2+1) - (-2x)*(2x)}{(x^2+1)^2}
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{2x^2 -2}{(x^2+1)^2}
[/mm]
> Die erste Ableitung ist kein Problem:
>
> (3x²+3) / (x²-1)² und
> (2x²-2) / (x²+1)²
richtig!
> Laut Quotientenregel gilt ja: (u*v u*v) / v²
>
> Und irgendwo im Folgenden muss mein Fehler sein:
> Für die erste Funktion:
hier nach kettenregel und quotientenregel ableiten!!
> u=3x²+3
> u=6x
richtig
> v=(x²-1)² = [mm]x^4-2x+1[/mm]
nicht korrekt v wäre auspotenziert:
v= [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2x^2*1 [/mm] +1
bzw. v'= [mm] 4x^3 [/mm] -4x
> v=2(x²-1)*2x = 4x³-4x
hier stimmts dann wieder.
> [mm]v²=(x²-1)^4[/mm]
ok, setzen wir mal zusammen:
f'(x)= [mm] \bruch{3x^2+3}{(x^2-1)^2} [/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{6x*(x^2-1)^2 - (3x^2+3)*2*(x^2-1)*2x} {(x^2-1)^4}
[/mm]
wobei [mm] 2*(x^2-1)*2x [/mm] nach kettenregel abgeleitet worden ist, das ergebnis
nämlich [mm] 4x^3 [/mm] -4x ist dasselbe wie in deiner rechnung!
jetzt klammere ich den faktor [mm] (x^2-1) [/mm] im zähler aus:
f''(x)= [mm] \bruch{(x^2-1)* [6x*(x^2-1) - (3x^2+3)*4x]} {(x^2-1)^4}
[/mm]
jetzt kann ich kürzen und weiter zusammenfassen:
f''(x)= [mm] \bruch{[6x^3-6x -12x^3 -12x]}{(x^2-1)^3}
[/mm]
und schon...
f''(x)= [mm] \bruch{-6x^3-18x}{(x^2-1)^3}
[/mm]
***
zu g''
g'(x)= [mm] \bruch{2x^2 -2}{(x^2+1)^2}
[/mm]
auch hier wieder ableitung nach quotienten- und kettenregel! innere ableitung nicht vergessen 
g''(x)= [mm] \bruch{4x*(x^2+1)^2 - (2x^2-2)*2*(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4}
[/mm]
den faktor [mm] (x^2+1) [/mm] aus dem zähler ausklammern, danach kürzen und weiter zusammenfassen:
g''(x)= [mm] \bruch{(x^2+1)* [4x*(x^2+1) - 2*2x]}{(x^2+1)^4}
[/mm]
g''(x)= [mm] \bruch{4x^3+4x-8x^3+8x}{(x^2+1)^3}
[/mm]
g''(x)= [mm] \bruch{-4x^3+12x}{(x^2+1)^3}
[/mm]
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mo 23.04.2007 | | Autor: | GeorgIV |
Vielen Dank, Wolfgang!
Nun weiß ich auch genau, wo meine Fehler lagen. Ich habe immer versucht, direkt mit den beiden Formen v'=4x³-4x und v= $ [mm] x^4-2x+1 [/mm] $ (die ja ohnehin falsch ist), weiterzurechnen und konnte folglich weder ausklammern, noch wegkürzen. Damit ist mir jetzt alles klar und es macht Sinn. Extremwerte sind nun auch kein Problem mehr. Tausend Dank nochmal für die ausführliche Hilfe! :)
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