Zweite Ableitung D^{2}f_{k} < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktionen
[mm] f_1(x_{1},x_{2}) [/mm] := [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
[/mm]
[mm] f_2(x_{1},x_{2}) [/mm] := [mm] x_{1}^{2}x_{2}^{2}
[/mm]
[mm] f_3(x_{1},x_{2}) [/mm] := [mm] -2x_{1}^{2}+10x_{1}-2x_{2}^{2}+2x_{2}-13
[/mm]
und berechnen sie die Matrizen
[mm] D^{2}f_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{\partial^{2}f_{k}}{\partial x_{i}\partial x_{j}})_{i,j=1,2}
[/mm]
Für welche k [mm] \in [/mm] {1,2,3} und welche [mm] (x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2} [/mm] ist [mm] D^{2}f_{k}((x_{1}, x_{2}) [/mm] positiv semidefinit bzw negativ semidefinit? |
Sorry, dass ich gerade so viele Fragen auf einmal stell. Ich hoffe es stört keinen.
Mir gehts erstmal um den ersten Teil der Aufgabe, da ich mir Pos und Neg Semdefinitheit noch gar nicht angeschaut habe. Sprich ich weiss gerade nicht wirklich was von mir verlangt ist.
Es geht hier ja um die zweite Ableitung und ich denk die drei Fkt. haben erstmal nichts miteinander zu tun oder? Muss ich die erste Fkt nach x und nach y ableiten? Dann zuerst nach y dann nach x. Und dann noch [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] bilden? ist das richtig? Dann bekomme ich vier verschiedene Sachen raus, ist das dann meine Matrix für [mm] D^{2}f_{1}?
[/mm]
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Hallo,
ja, Du hast es richtig verstanden.
LG Angela
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Ist diese Anordnung in der Matrix richtig?
[mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }
[/mm]
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Hallo,
ja, richtig.
LG Angela
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Merci!
Habe jetzt z.B. für [mm] f_{1} [/mm] folgende Matrix raus:
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] =: A
Nun habe ich versucht mich ein wenig in Sachen Definiheit Schlau zu machen und bin dabei auf die Determinante gestoßen. Lineare Algebra habe ich nur unvollständig gehört bis jetzt....
Die Definiton hierfür sieht aber nicht so schwierig aus. Ich probiere es mal selbst:
det(A)= 2*2 - 0*0 > 0
Also liegt hierbei positive Definitheit vor, egal für welche [mm] (x_{1},x_{2}) \in \IR [/mm] ?! (Ist das das gleiche wie semidefinitheit?)
Und falls das stimmt... Wie gehe ich vor, wenn ich noch eine/mehrere Variable in der Matrix habe?
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> Ja, es liegt posivie Definitheit vor. Das gilt aber nicht
> für alle Matrizen deren Determinante positiv ist.
Hat es dann überhaupt was mit der Determinante zu tun oder nur indirekt?? Also zwischen positiv semidefinit und positiv definit ist nur der kleine unterschied mit dem [mm] \ge [/mm] Zeichen. Das habe ich jetzt verstanden.
Bin in dieserm Zusammenhang aber vor allem auf die sog. Eigenwerte einer Matrix gestoßen. Leider versteh ich aber nicht ganz, was das ist? Bzw wie man diese berechnet....
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> Hat es dann überhaupt was mit der Determinante zu tun oder
> nur indirekt??
Hallo,
ich möchte hier jetzt nicht das Definitheitsthema in seiner gesamten Breite ausrollen.
Erstens würde es mir vielleicht gar nicht gut gelingen, und zweitens weiß ich nicht, was Du wissen mußt. Über letzteres gibt Dir am ehesten Dein Skript Auskunft.
Ich beschränke mich auf die mathematische Erstversorgung:
wenn Du die [mm] 2\times [/mm] 2-Hessematrix einer Funktion von zwei Variablen vorliegen hast, dann ist diese
positiv definit,
wenn die Determinante positiv ist und auch der Eintrag links oben,
negativ definit,
wenn die determinante positiv ist und der Eintrag links oben negativ,
indefinit,
wenn die Determinante negativ ist.
> Bin in dieserm Zusammenhang aber vor allem auf die sog.
> Eigenwerte einer Matrix gestoßen. Leider versteh ich aber
> nicht ganz, was das ist? Bzw wie man diese berechnet....
Erkläre ich jetzt auch nicht.
Wenn Du aber Diagonalmatrizen vorliegen hast, ist die Sache einfach: auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte.
positiv definit:
alle Eigenwerte positiv
negativ definit:
alle Eigenwerte negativ
indefinit:
man hat sowohl positive als auch negative Eigenwerte
LG Angela
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