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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Sa 11.06.2011 | | Autor: | mcmiri |
| Aufgabe | Eine Urne enthält 5 Kugeln, von denen 3 Kugeln 100g und 2 Kugeln 40g wiegen. Es werden 2 Kugeln nacheinander durch Ziehen ohne Zurücklegen aus der Urne entnommen. Die Zufallsvariable X erfasst das Gewicht der leichteren Kugel, die Zuallsvariable Y das Gewicht der schwereren Kugel. Sind beide Kugeln gleich schwer, nehmen X und Y denselben Wert an.
a) Bestimmen Sie die gem. Wahrscheinlichkeitsfunktion!
b) Zeigen Sie durch Berechnen, dass gilt: E(Y)=E(E(Y|X)) Beweisen Sie die Allgemeingültigkeit dieser Gleichung für diskrete Zufallsvariablen X und Y!
c) Bestimmen Sie Varianz und Kovarianz von X und Y. |
Mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion habe ich hoffentlich keine Probleme:
f(10,10) = 0,36
f(10,40) = 0,48
f(40,10) = 0
f(40,40) = 0,16
Ist das soweit richtig?
Für den Erwartungswert von Y habe ich 29,2 raus.
Den bedingten Erwartungswert E(Y|X) könnte ich auch ausrechnen... aber wie errechne ich davon wiederum den Erwartungswert?
Und wie beweise ich die Allgemeingültigkeit der angegebenen Gleichung?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!!
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> Eine Urne enthält 5 Kugeln, von denen 3 Kugeln 100g und 2
> Kugeln 40g wiegen. Es werden 2 Kugeln nacheinander durch
> Ziehen ohne Zurücklegen aus der Urne entnommen. Die
> Zufallsvariable X erfasst das Gewicht der leichteren Kugel,
> die Zuallsvariable Y das Gewicht der schwereren Kugel. Sind
> beide Kugeln gleich schwer, nehmen X und Y denselben Wert
> an.
> a) Bestimmen Sie die gem. Wahrscheinlichkeitsfunktion!
> b) Zeigen Sie durch Berechnen, dass gilt: E(Y)=E(E(Y|X))
> Beweisen Sie die Allgemeingültigkeit dieser Gleichung für
> diskrete Zufallsvariablen X und Y!
> c) Bestimmen Sie Varianz und Kovarianz von X und Y.
> Mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion habe ich
> hoffentlich keine Probleme:
> f(10,10) = 0,36
> f(10,40) = 0,48
> f(40,10) = 0
> f(40,40) = 0,16
> Ist das soweit richtig?
>
> Für den Erwartungswert von Y habe ich 29,2 raus.
> Den bedingten Erwartungswert E(Y|X) könnte ich auch
> ausrechnen... aber wie errechne ich davon wiederum den
> Erwartungswert?
>
> Und wie beweise ich die Allgemeingültigkeit der
> angegebenen Gleichung?
>
> Ich wäre für jede Hilfe dankbar!!
Hallo mcmiri,
sind nun die Kugelgewichte 40g und 100g oder 40g und 10g ?
Da nach Voraussetzung [mm] X\le{Y} [/mm] sein soll, kommt jeden-
falls das Paar (X,Y)=(40,10) nicht in Frage, was du in deiner
Tabelle berücksichtigt hast. Im Übrigen sind die angegebenen
Werte aber falsch, denn du hast für Ziehungen mit Zurück-
legen (anstatt ohne) gerechnet.
Was mit E(Y|X) genau gemeint sein soll, ist mir schleierhaft ...
Sollte das nicht z.B. E(Y|X=x) heißen ?
LG Al-Chw.
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> Eine Urne enthält 5 Kugeln, von denen 3 Kugeln 100g und 2
> Kugeln 40g wiegen. Es werden 2 Kugeln nacheinander durch
> Ziehen ohne Zurücklegen aus der Urne entnommen. Die
> Zufallsvariable X erfasst das Gewicht der leichteren Kugel,
> die Zuallsvariable Y das Gewicht der schwereren Kugel. Sind
> beide Kugeln gleich schwer, nehmen X und Y denselben Wert
> an.
> a) Bestimmen Sie die gem. Wahrscheinlichkeitsfunktion!
> b) Zeigen Sie durch Berechnen, dass gilt: E(Y)=E(E(Y|X))
> Beweisen Sie die Allgemeingültigkeit dieser Gleichung für
> diskrete Zufallsvariablen X und Y!
> c) Bestimmen Sie Varianz und Kovarianz von X und Y.
Hallo,
ich habe nun etwas recherchiert und gefunden, dass die
Schreibweise E(Y|X) zwar wirklich auch verwendet wird,
aber eben doch nur als abgekürzte Notation für einen
Ausdruck, den man eigentlich ausführlicher beschreiben
und darstellen sollte.
Link: ![[]](/images/popup.gif) Skript
Auf das vorliegende Beispiel bezogen würde ich die
Berechnung von E(E(Y|X)) so sehen:
$\ E(E(Y|X))\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{n}\,P(X=x_k)*E(Y|X=x_k)$
[/mm]
Dabei sind die [mm] x_k [/mm] alle möglichen diskreten Werte von X,
im Beispiel einfach $\ [mm] n=2\,,\ x_1=10\ [/mm] ,\ [mm] x_2=40\,.$
[/mm]
LG Al-Chw.
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