Zwei selbstadjungierte Endomorphismen über unitärem Raum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Di 22.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo im Matheraum,
ich habe hier ein Aufgabe und NOCH keinen Ansatz:
Es sei [mm] (V,\beta) [/mm] ein unitärer Raum (also über C, oder?), [mm]\psi \in End_C(V)[/mm]. Man zeige [mm] \psi [/mm] ist normal <-> es gibt zwei selsbtadjungierte Endomorphismen [mm]\phi_1, \phi_2:
\psi=\phi_1 + i\phi_2[/mm] mit
[mm] \phi_1.\phi_2=\phi_2.\phi_1[/mm]
Ich werd mich beeilen und einen gescheiten Ansatz herschreiben, wenn ich einen finde!!!
Vielleicht kann mir jemand erklären, was es mit dem selbstadjungiert auf sich hat??? Im Tutorium wurde es zwar erklärt, aber es war so kompliziert, dass ich noch nicht einmal eine Frage stellen konnte, weil ich von vorne bis hinten NICHTS kapiert hab :-(.
Liebe Grüße Cathrine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
So, ich habe jetzt mal versucht, alles was dazu zu "wissen" ist zusammen zutragen:
1)In der Linearen Alegbra heißt eine MATRIX A normal, wenn sie mit ihrer komplex konjugierten Transponierten kommutiert also [mm]A^t A= A A^t [/mm]
2)Bei quadr. Matrizen heißt selbstadjungiert, wenn [mm]A^t A= A A^t=I [/mm] gilt!
3)Ein unitärer Raum ist ein VR mit Skalarprod. über C, dessen Skalarprod. eine positiv definite (das ist mir auch noch nicht klar) Sesquilinearform ist
4)[mm] \psi[/mm] ist selbstadjungiert [mm]<-> \psi = \psi^^[/mm]
5)[mm] \psi [/mm]heißt normal [mm]<-> \psi ° \psi^^ =\psi^^ ° \psi[/mm]
Wobei dieses Komma eigentlich ein Hütchen ist und ° die Komposition ist!!!
Ich muss bei der Aufgabe also zuerst alles in Matrizenform umwandeln, oder sehe ich das falsch???
CATHY
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Do 24.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
>> Es sei [mm](V,\beta)[/mm] ein unitärer Raum (also über C, oder?),
> [mm]\psi \in End_C(V)[/mm]. Man zeige [mm]\psi[/mm] ist normal <-> es gibt
> zwei selsbtadjungierte Endomorphismen [mm]\phi_1, \phi_2:
\psi=\phi_1 + i\phi_2[/mm]
> mit
> [mm]\phi_1.\phi_2=\phi_2.\phi_1[/mm]
Probiere es mal mit
[mm] $\phi_1:= \frac{1}{2}( \psi [/mm] + [mm] \psi^{ad})$,
[/mm]
[mm] $\phi_2:= \frac{1}{2i} [/mm] ( [mm] \psi [/mm] - [mm] \psi^{ad})$.
[/mm]
(Das [mm] $\psi^{ad}$ [/mm] ist dein [mm] $\psi$ [/mm] "mit dem Hütchen", ich finde aber die obige Schreibweise besser).
Das haut so hin, denke ich.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Do 24.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
HAllo Julius,
ich danke dir tausend mal, dass du dich meiner angenommen hast. Ich verzweifle echt an dieser Aufgabe!!! Und komme mir echt blöd vor, weil ich keinen Hauch einer Ahnung hatte. Das mit dem ad habe ich zig-mal gelesen... Und ich habe mich schon gewundert, dass es nirgends im Skript steht...
Danke schön, Cathy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 26.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
...ich habe die beiden jetzt gleichgesetzt und dann durchgerechnet...
Hmmmm, ich bin sowas von ratlos!!! Wenn das also zutrifft, das mit dem gleichsetzen, was es nach meinen Rechnungen tut, was muss ich dann tun...
Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 So 27.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
Wieso denn gleichgesetzt??? Das macht also wirklich gar keinen Sinn. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich führe es jetzt gleich in einem anderen Beitrag zu Ende durch. Aber du musst wirklich noch verdammt viel tun für deine Klausur, im Moment sehe ich, ehrlich gesagt, schwarz. Aber aufgeben nutzt ja auch nichts, also lass die theoretischen Aufgaben am besten weg, da bist du doch (leider!) weit davon entfernt die hinzukriegen und versuche zunächst mal die einfachen (Rechen-)Aufgaben zu lösen, wie die Übungsaufgabe zum Gram-Schmidt-Verfahren, die Stefan gestellt hat. Vielleicht reichen die Rechenaufgaben ja, häufig ist das ja so im Grundstudium.
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 So 27.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
> >> Es sei [mm](V,\beta)[/mm] ein unitärer Raum (also über C, oder?),
>
> > [mm]\psi \in End_C(V)[/mm]. Man zeige [mm]\psi[/mm] ist normal <-> es gibt
>
> > zwei selsbtadjungierte Endomorphismen [mm]\phi_1, \phi_2:
\psi=\phi_1 + i\phi_2[/mm]
>
> > mit
> > [mm]\phi_1.\phi_2=\phi_2.\phi_1[/mm]
>
> Probiere es mal mit
>
> [mm]\phi_1:= \frac{1}{2}( \psi + \psi^{ad})[/mm],
>
> [mm]\phi_2:= \frac{1}{2i} ( \psi - \psi^{ad})[/mm].
Also, offenbar gilt:
[mm] $\psi [/mm] = [mm] \phi_1 [/mm] + i [mm] \phi_2$.
[/mm]
Wegen
[mm] $\phi_1^{ad} [/mm] = [mm] (\frac{1}{2}( \psi [/mm] + [mm] \psi^{ad}))^{ad} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\psi^{ad} [/mm] + [mm] (\psi^{ad})^{ad}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\psi^{ad} [/mm] + [mm] \psi) [/mm] = [mm] \phi_1$
[/mm]
und
[mm] $\phi_2^{ad} [/mm] = [mm] (\frac{1}{2i}( \psi [/mm] - [mm] \psi^{ad}))^{ad} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2i} (\psi^{ad} [/mm] - [mm] (\psi^{ad})^{ad}) [/mm] =- [mm] \frac{1}{2i} (\psi^{ad} [/mm] - [mm] \psi) [/mm] = [mm] \frac{1}{2i} (\psi [/mm] - [mm] \psi^{ad}) [/mm] = [mm] \phi_2$
[/mm]
sind [mm] $\phi_1$ [/mm] und [mm] $\phi_2$ [/mm] selbstadjungiert.
Zu zeigen bleibt:
[mm]\phi_1 \circ \phi_2=\phi_2 \circ \phi_1[/mm]
Nun gilt aber
[mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm]
[mm]= (\frac{1}{2}( \psi + \psi^{ad})) \circ (\frac{1}{2i} ( \psi - \psi^{ad}))[/mm]
[mm]= \frac{1}{4i} (\psi \circ \psi - \psi \circ \psi^{ad} + \psi^{ad} \circ \psi - \psi^{ad}\circ \psi^{ad})[/mm]
[mm]= \frac{1}{4i} (\psi \circ \psi - \psi^{ad} \circ \psi + \psi \circ \psi^{ad} - \psi^{ad}\circ \psi^{ad})[/mm]
(da [mm] $\psi$ [/mm] normal ist!)
[mm]= (\frac{1}{2i}( \psi - \psi^{ad})) \circ (\frac{1}{2} ( \psi + \psi^{ad}))[/mm]
[mm]\phi_2 \circ \phi_1[/mm].
Damit ist alles gezeigt.
Liebe Grüße
Julius
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