Zwei Metriken < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei (M,d) metrischer Raum. Sei d*: [mm] MxM->\IR_{0}^+, [/mm] d*(x,y) = [mm] \wurzel{d(x,y)}. [/mm] Zeigen Sie, dass d* eine Metrik auf M ist, welche äquivalent zu d ist. |
Hi,
wie haben zwei Definitionen zu äquivalenten Metriken.
1. Zwei Metriken sind äquivalent wenn sie die gleichen offenen Mengen generieren.
-> Mit der Def. kann ich nicht viel anfangen
2. Zwei Metriken [mm] d_1, d_2 [/mm] sind äquivalent, wenn Konstanten [mm] a_1,a_2>0 [/mm] existieren, mit [mm] a_1 *d_1<=d_2<= a_2*d_2.
[/mm]
Mit der Definition habe ich versucht die Aufgabe zu lösen:
Es ist mit [mm] a_1 [/mm] = 1/2 und [mm] a_2 [/mm] = 2:
1/2 [mm] \wurzel{d(x,y)} [/mm] <= d*(x,y) <= 2 [mm] \wurzel{d(x,y)}
[/mm]
Allerdings steht da ja jetzt nicht:
[mm] a_1 [/mm] d(x,y)<=d*(x,y)<= [mm] a_2 [/mm] d(x,y).
Ist die Definition trotzdem richtig angewendet?
LG
meinmathe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (M,d) metrischer Raum. Sei d*: [mm]M \times M \to \IR_{0}^+, [/mm]
> [mm]d^{\*}(x,y) = \wurzel{d(x,y)}.[/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $d^{\*}$ [/mm]
> eine Metrik auf $M$
> ist, welche äquivalent zu d ist.
> Hi,
>
> wie haben zwei Definitionen zu äquivalenten Metriken.
>
> 1. Zwei Metriken sind äquivalent wenn sie die gleichen
> offenen Mengen generieren.
> -> Mit der Def. kann ich nicht viel anfangen
naja, eine Menge $O [mm] \subset [/mm] M$ heißt offen im metrischen Raum $(M,d)$ (bzw. bzgl. der Metrik $d$), wenn für jedes $x [mm] \in [/mm] O$ ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(x) [/mm] > 0$ existiert, so dass mit [mm] $U_{\varepsilon}(x):=\left\{m \in M: d(x,m) < \varepsilon \right\}$ [/mm] gilt, dass [mm] $U_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] O$.
Nun betrachtet man hier die metrischen Räume $(M,d)$ und [mm] $(M,d^{\*})$. [/mm] Dann ist die Aussage oben, dass [mm] $\left\{O: O \mbox{ offen in } (M,d)\right\}=\left\{O^{\*}: O^{\*} \mbox{ offen in } (M,d^{\*})\right\}$, [/mm] also dass sowohl
[mm] $\left\{O: O \mbox{ offen in } (M,d)\right\} \subset \left\{O^{\*}: O^{\*} \mbox{ offen in } (M,d^{\*})\right\}$
[/mm]
als auch
[mm] $\left\{O^{\*}: O^{\*} \mbox{ offen in } (M,d^{\*})\right\} \subset \left\{O: O \mbox{ offen in } (M,d)\right\}$
[/mm]
gilt. Mit anderen Worten:
Genau dann ist eine Menge offen in $(M,d)$, wenn sie offen in [mm] $(M,d^{\*})$ [/mm] ist.
> 2. Zwei Metriken [mm]d_1, d_2[/mm] sind äquivalent, wenn Konstanten
> [mm]a_1,a_2>0[/mm] existieren, mit [mm]a_1 *d_1 \le d_2 \le a_2*d_2.[/mm]
Das verwundert mich nun ehrlich gesagt ein bisschen. Denn wenn man zwei Definitionen für ein und denselben Begriff gibt, sollte man die Äquivalenz der Begriffe (unter den gegebenen Voraussetzungen) beweisen. Bist Du Dir sicher, dass ihr vll. nicht 1. als Definition gegeben habt, und bei 2. die Aussage ein Satz ist:
Wenn es solche Konstanten gibt, dann sind die Metriken jedenfalls äquivalent, d.h. sie erzeugen die selbe Topologie (das letzte ist hier eine Umformulierung von 1., also: "die selbe Topologie erzeugen" ist hier = "die gleichen offenen Mengen generieren").
> Mit der Definition habe ich versucht die Aufgabe zu lösen:
>
> Es ist mit [mm]a_1[/mm] = 1/2 und [mm]a_2[/mm] = 2:
> 1/2 [mm]\wurzel{d(x,y)}[/mm] <= d*(x,y) <= 2 [mm]\wurzel{d(x,y)}[/mm]
>
> Allerdings steht da ja jetzt nicht:
> [mm]a_1[/mm] d(x,y)<=d*(x,y)<= [mm]a_2[/mm] d(x,y).
>
> Ist die Definition trotzdem richtig angewendet?
Nein, da taucht doch nur die Metrik [mm] $d^{\*}$ [/mm] auf. Du musst doch die Metrik $d$ mit einbauen, allerdings wird Dir das so nicht gelingen, denn selbst nach einer Quadratur steht in der Mitte [mm] $(d^{\*})^2$ [/mm] anstelle des benötigten [mm] $d^{\*}$, [/mm] zumal Du ja hier wirklich nur eine für [mm] $d^{\*}$ [/mm] triviale Abschätzung benutzt.
Nun ja, erstmal komplett zu Deiner Aufgabe:
Also zunächst:
Du hast hier sowieso noch zu zeigen, dass [mm] $d^{\*}$ [/mm] eine Metrik auf $M$ ist, d.h. für alle $x,y,z [mm] \in [/mm] M$ gelten:
(I) (a) [mm] $d^{\*}(x,y) \ge [/mm] 0$ und
(b) [mm] $d^{\*}(x,y)=0 \gdw [/mm] x=y$
(II) [mm] $d^{\*}(x,y)=d^{\*}(y,x)$
[/mm]
(diese beiden Dinge sind trivial, da $d$ eine Metrik ist)
sowie
(III) [mm] $d^{\*}(x,z) \le d^{\*}(x,y)+d^{\*}(y,z)$
[/mm]
Nun zur Äquivalenz der Metriken:
Versuchen wir nun die 2. Definition, (Edit) den Hilfssatz der Äquivalenz einer Metrik heranzuziehen (Ergebnis wird sein: Er wird hier nicht funktionieren!)(Edit Ende):
Wir suchen z.B. Konstanten [mm] $a_1, a_2 [/mm] > 0$ derart, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] M$ gilt:
[mm] $a_1 [/mm] *d(x,y) [mm] \le d^{\*}(x,y) \le a_2 [/mm] *d(x,y)$
Und hier habe ich ein Problem:
Betrachten wir mal [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] und [mm] $(\IR,d^{\*})$. [/mm] Nun halten wir $x=0 [mm] \in \IR$ [/mm] fest und betrachten die [mm] $y=y_n=\frac{1}{n^2}$. [/mm] Wenn es so eine Konstante [mm] $a_2 [/mm] > 0$ geben würde, dann folgte, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelten müsste:
[mm] $d^{\*}(x,y)=\sqrt{\left|\frac{1}{n^2}-0\right|} \le a_2 *d(x,y)=a_2*\left|\frac{1}{n^2}-0\right|$
[/mm]
also:
$1 [mm] \le a_2 *\frac{1}{n}$
[/mm]
Das kann aber nicht sein, da für festes [mm] $a_2 [/mm] > 0$ gilt, dass [mm] $a_2 *\frac{1}{n} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$...
[/mm]
Also ich denke, Du wirst hier wohl oder übel mit der ersten Definition arbeiten müssen!
P.S.:
Ich habe gerade das Aufgabenblatt + Skriptum im Internet gefunden.
![[]](/images/popup.gif) http://www.numerik.uni-kiel.de/~mabr/lehre/mfi1/
Also:
Lemma 3.11 ist [mm] $\underline{\mbox{keine}}$ [/mm] Definition (Lemma=Hilfssatz!!!). Die Aussage dieses Satzes ist:
Wenn es Konstanten [mm] $a_1,a_2 [/mm] > 0$ derart gibt, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] M$ gilt:
[mm] $a_1 *d_2(x,y) \le d_1(x,y) \le a_2 *d_2(x,y)$
[/mm]
[mm] $\blue{\Rightarrow}$ $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] sind äquivalent, m.a.W. sie generieren die gleichen offenen Mengen.
Bitte beachte, dass das keine [mm] $\gdw$ [/mm] - Aussage ist und auch nicht (ohne Zusatzvoraussetzungen) zu einer verschärft werden kann, denn oben haben wir eben ein Beispiel zweier Metriken $d$ und [mm] $d^{\*}$, [/mm] die die gleichen offenen Mengen generieren, aber i.a. müssen solche Konstanten [mm] $a_1,a_2$ [/mm] nicht existieren, wie das Beispiel [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] und [mm] $(\IR,d^{\*})$ [/mm] zeigt.
Also:
[mm] $\blue{\Rightarrow}$ [/mm] kann i.a. [mm] $\underline{\mbox{nicht}}$ [/mm] zu einem [mm] $\gdw$ [/mm] verschärft werden
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Antwort. Das kingt ja echt kompliziert...
Gut, ich versuch es:
Ersteinmal zum restlichen d* ist eine Metrik auf M Teil:
ZZ: $ [mm] d^{*}(x,z) \le d^{*}(x,y)+d^{*}(y,z) [/mm] $
[mm] d^{*}(x,z)^2 [/mm]
[mm] =\wurzel{d(x,z)}^2
[/mm]
[mm] <=\wurzel{d(x,y) + d(y,z)}^2 [/mm]
= d(x,y)+d(y,z)
<= d(x,y) + [mm] 2\wurzel{d(x,y)}\wurzel{d(y,z)} [/mm] + d(y,z)
[mm] =(\wurzel{d(x,y)}+\wurzel{d(y,z)})^2
[/mm]
[mm] =(d^{*}(x,y)+d^{*}(y,z))^2
[/mm]
Nun zum komplizierten offenen Mengen Teil:
Sei [mm] x\in [/mm] M. Dann existieren [mm] \epsilon_1 [/mm] und [mm] \epsilon_2 [/mm] mit
[mm] U_\epsilon_1(x) =\{y\in M: d(x,y)<\epsilon_1\}
[/mm]
und [mm] U_\epsilon_2(x) =\{y\in M: d^*(x,y)<\epsilon_2\}.
[/mm]
ZZ: [mm] U_\epsilon_1(x)\subset U_\epsilon_2(x)
[/mm]
Sei [mm] \epsilon_2 [/mm] = [mm] \wurzel{\epsilon_1}. [/mm] Dann gilt:
[mm] U_\epsilon_1(x) [/mm] = [mm] \{y\in M: d(x,y)<\epsilon_1\} [/mm] = [mm] \{y\in M: d^*(x,y)^2< \epsilon_1\} \subset \{y\in M: d^*(x,y)<\epsilon_2\} [/mm] = [mm] U_\epsilon_2(x)
[/mm]
Jetzt käme noch die Rückrichtung, da ich aber nicht so von meinem geschriebenen überzeugt bin, lass ich das lieber...
LG
meinmathe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Das kingt ja echt
> kompliziert...
>
> Gut, ich versuch es:
>
> Ersteinmal zum restlichen d* ist eine Metrik auf M Teil:
> ZZ: [mm]d^{*}(x,z) \le d^{*}(x,y)+d^{*}(y,z)[/mm]
> [mm]d^{*}(x,z)^2[/mm]
> [mm]=\wurzel{d(x,z)}^2[/mm]
> [mm]<=\wurzel{d(x,y) + d(y,z)}^2[/mm]
> = d(x,y)+d(y,z)
> <= d(x,y) + [mm]2\wurzel{d(x,y)}\wurzel{d(y,z)}[/mm] + d(y,z)
> [mm]=(\wurzel{d(x,y)}+\wurzel{d(y,z)})^2[/mm]
> [mm]=(d^{*}(x,y)+d^{*}(y,z))^2[/mm]
das sieht doch ganz gut aus. Ich würde den Beweis nur von hinten aufziehen, einfach der Logik her halber (ich kürze bis auf das wesentliche ab):
Es gilt offenbar für alle $x,y,z [mm] \in [/mm] M$ (unter Beachtung der Dreiecksungleichung für die Metrik $d$)
[mm] $(d^{\*}(x,y)+d^{\*}(y,z))^2=d(x,y) [/mm] + [mm] 2\wurzel{d(x,y)}\wurzel{d(y,z)}+ [/mm] d(y,z) [mm] \ge [/mm] d(x,y)+d(y,z) [mm] \ge d(x,z)=(d^{\*}(x,z))^2$
[/mm]
Weil $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] ist, folgt damit:
[mm] $\sqrt{(d^{\*}(x,y)+d^{\*}(y,z))^2}=d^{\*}(x,y)+d^{\*}(y,z) \ge \sqrt{(d^{\*}(x,z))^2}=d^{\*}(x,z)$
[/mm]
>
> Nun zum komplizierten offenen Mengen Teil:
> Sei [mm]x\in[/mm] M. Dann existieren [mm]\epsilon_1[/mm] und [mm]\epsilon_2[/mm] mit
> [mm]U_\epsilon_1(x) =\{y\in M: d(x,y)<\epsilon_1\}[/mm]
> und
> [mm]U_\epsilon_2(x) =\{y\in M: d^*(x,y)<\epsilon_2\}.[/mm]
>
> ZZ: [mm]U_\epsilon_1(x)\subset U_\epsilon_2(x)[/mm]
> Sei [mm]\epsilon_2[/mm]
> = [mm]\wurzel{\epsilon_1}.[/mm] Dann gilt:
> [mm]U_\epsilon_1(x)[/mm] = [mm]\{y\in M: d(x,y)<\epsilon_1\}[/mm] = [mm]\{y\in M: d^*(x,y)^2< \epsilon_1\} \subset \{y\in M: d^*(x,y)<\epsilon_2\}[/mm]
> = [mm]U_\epsilon_2(x)[/mm]
>
> Jetzt käme noch die Rückrichtung, da ich aber nicht so von
> meinem geschriebenen überzeugt bin, lass ich das lieber...
Also hier wirfst Du wirklich ein paar Dinge durcheinander. Du musst ja zeigen, dass jede Menge, die bzgl. $d$ offen ist, auch bzgl. [mm] $d^{\*}$ [/mm] offen ist. Daran solltest Du Dich auch halten. Das heißt:
Du hast folgendes zu zeigen:
1.) Ist $O [mm] \subset [/mm] M$ offen bzgl. der Metrik $d$, so haben wir zu zeigen:
Dann ist $O$ auch offen bzgl. der Metrik [mm] $d^{\*}$.
[/mm]
Also:
Voraussetzung:
$O$ ist offen bzgl. $d$.
Zu zeigen:
Ist $x [mm] \in [/mm] O$ beliebig, aber fest, so haben wir zu zeigen, dass dann ein [mm] $\varepsilon^{\*}=\varepsilon^{\*}(x) [/mm] > 0$ so existiert, dass für alle $y [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $d^{\*}(x,y) [/mm] < [mm] \varepsilon^{\*}$ [/mm] schon gilt, dass $y [mm] \in [/mm] O$ folgt.
(Mit den ein wenig weiter unten stehenden Bezeichnungen:
Zu zeigen:
[mm] $\exists$ $\varepsilon^{\*}=\varepsilon^{\*}(x) [/mm] > 0$ derart, dass [mm] $U^{\*}_{\varepsilon^{\*}}(x) \subset [/mm] O$ gilt!)
Wir wissen nach Voraussetzung, dass $O$ offen bzgl. $d$ ist, also exsitiert schonmal ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(x) [/mm] > 0$ derart, dass für alle $y [mm] \in [/mm] M$ mit $d(x,y) < [mm] \varepsilon$ [/mm] schon folgt, dass $y [mm] \in [/mm] O$ gilt.
(Mit den ein wenig weiter unten stehenden Bezeichnungen:
Wir wissen:
$ [mm] \exists [/mm] $ $ [mm] \varepsilon=\varepsilon(x) [/mm] > 0 $ derart, dass $ [mm] U_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] O $ gilt!)
Nun setze einfach, so wie Du es oben auch gemacht hast: [mm] $\varepsilon^{\*}:=\sqrt{\varepsilon} [/mm] > 0$.
Denn damit gilt dann:
Ist $y [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $d^{\*}(x,y) [/mm] < [mm] \varepsilon^{\*}$, [/mm] so folgt $d(x,y) < [mm] \varepsilon$ [/mm] und damit $y [mm] \in [/mm] O$. Mit anderen Worten:
[mm] $U^{\*}_{\varepsilon^{\*}}(x):=\left\{y \in M: d^{\*}(x,y) < \varepsilon^{\*} \right\} \subset U_{\varepsilon}(x):=\left\{y \in M: d(x,y) < \varepsilon\right\}$ [/mm]
und nach der Wahl von [mm] $\varepsilon$ [/mm] war [mm] $U_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] O$, und wegen [mm] $U^{\*}_{\varepsilon^{\*}}(x) \subset U_{\varepsilon}(x)$ [/mm] gilt dann auch [mm] $U^{\*}_{\varepsilon^{\*}}(x) \subset [/mm] O$, was zu zeigen war.
Weil man so für jedes $x [mm] \in [/mm] O$ argumentieren kann, folgt, dass $O$ auch offen bzgl. [mm] $d^{\*}$ [/mm] ist.
2.) Nun haben wir zu zeigen:
Ist [mm] $O^{\*} \subset [/mm] M$ offen bzgl. [mm] $d^{\*}$, [/mm] so ist [mm] $O^{\*}$ [/mm] auch offen bzgl. der Metrik $d$.
Sei dazu [mm] $x^{\*} \in O^{\*}$ [/mm] beliebig, aber fest. Zu diesem [mm] $x^{\*}$ [/mm] existiert nun ein [mm] $\varepsilon^{\*} [/mm] > 0$ derart, dass gilt:
[mm] $U^{\*}_{\varepsilon^{\*}}(x^{\*}):=\left\{y \in M: d^{\*}(x^{\*},y)< \varepsilon^{\*}\right\} \subset O^{\*}$, [/mm] weil ja nach Voraussetzung [mm] $O^{\*}$ [/mm] offen bzgl. [mm] $d^{\*}$ [/mm] ist.
Nun setzen wir einfach [mm] $\varepsilon:=(\varepsilon^{\*})^2 [/mm] > 0$. Argumentiere nun kurz, dass damit gilt:
[mm] $U_{\varepsilon}(x^{\*}):=\left\{y \in M: d(x^{\*},y) < \varepsilon \right\} \subset U^{\*}_{\varepsilon^{\*}}(x^{\*}):=\left\{y \in M: d^{\*}(x^{\*},y) < \varepsilon^{\*}\right\}$
[/mm]
und dann folgt die Behauptung, weil wir hier [mm] $\varepsilon^{\*}=\varepsilon^{\*}(x^{\*}) [/mm] > 0$ so gewählt hatten, dass [mm] $U^{\*}_{\varepsilon^{\*}}(x^{\*}) \subset O^{\*}$ [/mm] (und das war hier gegangen, weil [mm] $O^{\*}$ [/mm] offen bzgl. [mm] $d^{\*}$ [/mm] nach Voraussetzung war).
P.S.:
Die Bezeichnungen [mm] $O^{\*}$ [/mm] soll nur andeuten, dass diese Menge bzgl. [mm] $d^{\*}$ [/mm] offen ist. Die Bezeichnung [mm] $x^{\*}$ [/mm] soll dann weiterhin nur andeuten, dass dies ein Element aus der Menge [mm] $O^{\*}$ [/mm] ist. Warum ich dann [mm] $\varepsilon^{\*}$ [/mm] etc. geschrieben habe, ist dann klar, denke ich. Du musst diese Bezeichnungen nicht übernehmen, meinetwegen kannst Du auch im zweiten Falle das [mm] $O^{\*}$ [/mm] wieder $O$ nennen etc., Du musst halt immer nur beachten:
Bzgl.welcher Metrik hantiere ich hier gerade....
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mi 20.02.2008 | | Autor: | meinmathe |
Hallo Marcel,
vielen vielen Dank für deine super ausführlichen Antworten. Du hast mir sehr weitergeholfen.
LG
meinmathe
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