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| Aufgabe | Seien (G, [mm] \circ), [/mm] (H, [mm] \circ) [/mm] zwei Gruppen. Dann definiert man das direkte Produkt (G [mm] \oplus [/mm] H, [mm] \circ) [/mm] mit G [mm] \oplus [/mm] H = [mm] \{(g, h) | g \in G, h \in h\}, [/mm] wobei für [mm] g_{1}, g_{2} \in [/mm] G, [mm] h_{1}, h_{2} \in [/mm] H gilt: [mm] (g_{1}, h_{1}) \circ (g_{2}, h_{2}) [/mm] = [mm] (g_{1} \circ g_{2}, h_{1} \circ h_{2}). [/mm] Zeigen Sie:
Für m, n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ \cong \IZ/mn\IZ [/mm] genau dann, wenn m und n teilerfremd sind. |
Wie kann ich an diese Aufgabe rangehen? Irgendwelche Lösungsmöglichkeiten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien (G, [mm]\circ),[/mm] (H, [mm]\circ)[/mm] zwei Gruppen. Dann definiert
> man das direkte Produkt (G [mm]\oplus[/mm] H, [mm]\circ)[/mm] mit G [mm]\oplus[/mm] H
> = [mm]\{(g, h) | g \in G, h \in h\},[/mm] wobei für [mm]g_{1}, g_{2} \in[/mm]
> G, [mm]h_{1}, h_{2} \in[/mm] H gilt: [mm](g_{1}, h_{1}) \circ (g_{2}, h_{2})[/mm]
> = [mm](g_{1} \circ g_{2}, h_{1} \circ h_{2}).[/mm] Zeigen Sie:
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> Für m, n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ \cong \IZ/mn\IZ[/mm]
> genau dann, wenn m und n teilerfremd sind.
> Wie kann ich an diese Aufgabe rangehen? Irgendwelche
> Lösungsmöglichkeiten?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte bitte, daß wir lt. Forenregeln Lösungsansätze von Dir erwarten.
Was hast Du Dir denn bisher überlegt, was hast Du getan, wo liegen Deine Probleme und weißt Du, was ein Gruppenisomorphismus ist. (Wenn ja: was denn?).
Lösungsmöglichkeit:
für n,m teilerfremd könnte man sich eine Abbildung überlegen, von der man dann zeigt, daß es ein Isomorphismus ist.
Anschließend könnte man annehmen, daß n,m nicht teilerfremd sind und es einen Isomorphismus gibt und dies dann zum Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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Zum Gruppenisomorphismus:
[mm] \forall (g_{1}, h_{1}) (g_{2}, h_{2}) \in [/mm] G [mm] \oplus [/mm] H
[mm] (g_{1}, h_{1}) \circ (g_{2}, h_{2}) [/mm] = [mm] (g_{1} \circ g_{2}, h_{1} \circ h_{2})
[/mm]
das angewendet auf m und n
[mm] \forall (m_{1}, n_{1}) (m_{2}, n_{2}) \in \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ [/mm]
[mm] (m_{1}, n_{1}) \circ (m_{2}, n_{2}) [/mm] = [mm] (m_{1} \circ m_{2}, n_{1} \circ n_{2})
[/mm]
d.h. wenn die Funktion bijektiv ist, dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
eine Abbildung würde dann so aussehen (?):
f: G [mm] \oplus [/mm] H x G [mm] \oplus [/mm] H [mm] \to [/mm] G [mm] \oplus [/mm] H
also sprich:
f: [mm] \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ [/mm] x [mm] \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ \to \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ [/mm]
aber ich wüsste jetzt nicht, wie ich das mit dem Teilerfremd-dasein da noch unterbringen soll ...
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Hallo,
oha, es herrscht ein ziemliches Durcheinander.
Ich versuche jetzt mal, die Aufgabe (nicht die Lösung) zu erklären.
Man hat hier die Gruppen [mm] (\IZ/m\IZ, [/mm] $+_m$) , [mm] (\IZ/n\IZ, [/mm] $+_n$), [mm] (\IZ/mn\IZ, [/mm] $+_{mn}$).
Nun wird das direkte Produkt von [mm] \IZ/m\IZ [/mm] und [mm] \IZ/n\IZ [/mm] erklärt: das sind die Paare, deren erste Komponente [mm] \IZ/m\IZ, [/mm] $+_m$) und deren zweite [mm] (\IZ/n\IZ, [/mm] $+_n$) entstammt.
Auf dieser Menge [mm] \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ [/mm] wird eine Verknüpfung definiert:
[mm] (a_1, b_1)\circ (a_2, b_2):=(a_1+_ma_2, b_1+_nb_2).
[/mm]
Es steht zwar nicht so direkt da, aber [mm] (\IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ, \circ) [/mm] ist eine Gruppe, und von dieser sollst Du zeigen, daß sie isomorph zu [mm] (\IZ/mn\IZ, [/mm] $+_{mn}$) ist.
Das bedeutet, daß es eine bijektive Abbildung f: [mm] \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ \to \IZ/mn\IZ [/mm] gibt mit der Eigenschaft
[mm] f((a_1, b_1)\circ (a_2, b_2))= f((a_1,b_1))+_{mn} f((a_2, b_2)),
[/mm]
und das ist es, was Du in der Aufgabe zeigen sollst.
Gruß v. Angela
> Zum Gruppenisomorphismus:
>
> [mm]\forall (g_{1}, h_{1}) (g_{2}, h_{2}) \in[/mm] G [mm]\oplus[/mm] H
> [mm](g_{1}, h_{1}) \circ (g_{2}, h_{2})[/mm] = [mm](g_{1} \circ g_{2}, h_{1} \circ h_{2})[/mm]
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> das angewendet auf m und n
>
> [mm]\forall (m_{1}, n_{1}) (m_{2}, n_{2}) \in \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ[/mm]
> [mm](m_{1}, n_{1}) \circ (m_{2}, n_{2})[/mm] = [mm](m_{1} \circ m_{2}, n_{1} \circ n_{2})[/mm]
>
> d.h. wenn die Funktion bijektiv ist, dann gibt es einen
> Gruppenisomorphismus
>
> eine Abbildung würde dann so aussehen (?):
>
> f: G [mm]\oplus[/mm] H x G [mm]\oplus[/mm] H [mm]\to[/mm] G [mm]\oplus[/mm] H
>
> also sprich:
>
> f: [mm]\IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ[/mm] x [mm]\IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ \to \IZ/m\IZ \oplus \IZ/n\IZ[/mm]
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> aber ich wüsste jetzt nicht, wie ich das mit dem
> Teilerfremd-dasein da noch unterbringen soll ...
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Ok, soweit hab ich das verstanden.
Aber wenn ich das so schreibe:
$ [mm] f((a_1, b_1)\circ (a_2, b_2))= f((a_1 [/mm] +_m [mm] a_2), (b_1 [/mm] +_n [mm] b_2)) [/mm] = [mm] f((a_1,b_1))+_{mn} f((a_2, b_2)), [/mm] $
Dann is ja damit noch nicht alles getan, oder (weil irgendwie scheint mir das zu kurz) und ich komm beim besten Willen auf nichts anderes.
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> Ok, soweit hab ich das verstanden.
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> Aber wenn ich das so schreibe:
> [mm]f((a_1, b_1)\circ (a_2, b_2))= f((a_1 +_m a_2), (b_1 +_n b_2)) = f((a_1,b_1))+_{mn} f((a_2, b_2)),[/mm]
>
> Dann is ja damit noch nicht alles getan, oder (weil
> irgendwie scheint mir das zu kurz) und ich komm beim besten
> Willen auf nichts anderes.
Hallo,
nein, damit ist nichts getan.
Ich hatte ja schon gesagt: Du mußt eine passende Abbildung f erstmal suchen, von welcher Du dann zeigst, daß ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.
Vorschlag: versuch das doch erstmal ganz konkret beispielsweise für m=3 und n=5
Gruß v. Angela
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