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| Aufgabe | Folgendes Setting ist gegeben:
[mm] $\Gamma\colon [a,b]\to\mathbb{C}$ [/mm] sei eine stetige, geschlossen Kurve in der Kreisscheibe um 1 mit Radius 1.
Was ist die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$? [/mm] |
Sind das alle komplexen Zahlen, die 1.) nicht auf der Kurve selbst und 2.) nicht in dem Bereich liegen, der von der geschlossenen Kurve eingeschlosse wird?
Oder was ist das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Sa 20.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Folgendes Setting ist gegeben:
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> [mm]\Gamma\colon [a,b]\to\mathbb{C}[/mm] sei eine stetige,
> geschlossen Kurve in der Kreisscheibe um 1 mit Radius 1.
>
> Was ist die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von
> [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm]?
??????
[mm] \Gamma [/mm] ist stetig, [a,b] ist zusammenhängend, also ist [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm] zusammenhängend , hat also nur eine Zusammenhangskomponente, nämlich [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm], und die ist beschränkt !
Kann es sein dass es um [mm] \IC \setminus[/mm] [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm] geht ?
FRED
> Sind das alle komplexen Zahlen, die 1.) nicht auf der
> Kurve selbst und 2.) nicht in dem Bereich liegen, der von
> der geschlossenen Kurve eingeschlosse wird?
>
> Oder was ist das?
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> [mm]\Gamma[/mm] ist stetig, [a,b] ist zusammenhängend, also ist
> [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm] zusammenhängend , hat also nur eine
> Zusammenhangskomponente, nämlich [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm], und
> die ist beschränkt !
Ich habe wohl den Begriff Zusammenhangskomponente nicht verstanden. Was genau ist das und wie kommt man hier darauf, dass die Zusammenhangskomponente von [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] eben [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] selbst ist?
Ich kenne Zusammenhangskomponente als eine maximale zusammenhängende Teilmenge. Und wenn nun [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] zusammenhängend ist (was man ja schon daran sieht, dass es wegzusammenhängend ist), so gibt es zwar viele zusammenhängende Teilmengen (etwa die Hälfte des Weges), aber maximal von denen ist nur [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] selbst.
> Kann es sein dass es um [mm]\IC \setminus[/mm] [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm]
> geht ?
Ja, das kann sein! Was ist denn dann die unbeschränkte Zusammenhangskomponente davon?
Also es ist [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] kompakt, also kann man eine abgeschlossene Kreisscheibe darum finden. Wenn man sich nun Teilmengen von [mm] $\mathbb{C}\setminus\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] anschaut, so ist alles, was außerhalb der Kreisscheibe liegt wegzusammenhängend, also zusammenhängend, und auch maximal. Also ist das eine Zusammenhangskomponente und zudem ist die auch unbeschränkt.
Alles, was in der Kreisscheibe (aber nicht auf dem Weg liegt), sind auch wegzusammenhängende Teilmengen, aber sind sie auch maximal? Aber selbst, wenn sie das sind - jedenfalls sind die beschränkt, weil sie ja in der Kreissscheibe liegen.
Also kann die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von [mm] $\mathbb{C}\setminus\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] eigentlich nur die Menge der komplexen Zahlen außerhalb der Kreissscheibe sein.
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Servus!
> >
> > [mm]\Gamma[/mm] ist stetig, [a,b] ist zusammenhängend, also ist
> > [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm] zusammenhängend , hat also nur eine
> > Zusammenhangskomponente, nämlich [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm], und
> > die ist beschränkt !
>
> Ich habe wohl den Begriff Zusammenhangskomponente nicht
> verstanden. Was genau ist das und wie kommt man hier
> darauf, dass die Zusammenhangskomponente von
> [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm] eben [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm] selbst ist?
Das ist doch klar, oder? SAgen wir mal, deine Kurve ist der Einheitskreis um den Nullpunkt. Dann ist doch der gesamte Kreis die gesamte Menge. Und von mir aus der obere Halbkreis nur eine Teilmenge. Du suchst ja aber die maximale Zusammenhängende Menge.
>
> Ich kenne Zusammenhangskomponente als eine maximale
> zusammenhängende Teilmenge.
Na bitte.
>
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> > Kann es sein dass es um [mm]\IC \setminus[/mm] [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm]
> > geht ?
>
> Ja, das kann sein! Was ist denn dann die unbeschränkte
> Zusammenhangskomponente davon?
Was nun? Kann es sein, oder nicht? Was steht denn nun auf dem Aufgabenzettel?
Was bedeutet denn unbeschränkt?
Sag uns das mal.
Dann zeichne dir doch mal die Kurve in ein Koordinatensystem und schaue, was eigentlich die Menge [mm] \IC\setminus{Bild(\Gamma)} [/mm] ist.
>
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Hallo, ich hatte meine Frage vor deiner Antwort noch editiert.
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Also es geht darum, dass auf dem Zettel steht:
"Die Windungszahl von 0 ist 0, da 0 in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$ [/mm] liegt."
Und das wollte ich ganz gerne verstehen.
Ich weiß, dass es einen Satz gibt, der einem sagt, dass die Windungszahl 0 ist, wenn der Punkt in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente liegt.
Darum ergaben sich für mich die Frage:
Was ist die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von [mm] $\mbox{Bild}(\Gamma)$? [/mm] Die gibts doch nach fred97s Antwort gar nicht.
Offenbar meint man damit also die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von [mm] $\mathbb{C}\setminus\mbox{Bild}(\Gamma)$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Sa 20.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich hatte meine Frage vor deiner Antwort noch
> editiert.
>
> --------------------
>
> Also es geht darum, dass auf dem Zettel steht:
>
> "Die Windungszahl von 0 ist 0, da 0 in der unbeschränkten
> Zusammenhangskomponente von [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm] liegt."
>
> Und das wollte ich ganz gerne verstehen.
>
> Ich weiß, dass es einen Satz gibt, der einem sagt, dass
> die Windungszahl 0 ist, wenn der Punkt in der
> unbeschränkten Zusammenhangskomponente liegt.
Was sagt der Satz genau? Also um welche unbeschraenkte Zusammenhangskomponente geht es? Um die von [mm] $\IC \setminus Bild(\Gamma)$?
[/mm]
> Darum ergaben sich für mich die Frage:
>
> Was ist die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von
> [mm]\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm]? Die gibts doch nach fred97s Antwort
> gar nicht.
Genau.
> Offenbar meint man damit also die unbeschränkte
> Zusammenhangskomponente von
> [mm]\mathbb{C}\setminus\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm]?
Ja, die ist wohl gemeint. Ich vermute, da hat sich jemand einfach vertan und hat das [mm] "$\IC \setminus{}$" [/mm] vergessen :)
LG Felix
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Hallo,
bei dem Satz geht es um die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von [mm] $\mathbb{C}\setminus\mbox{Bild}(\Gamma)$.
[/mm]
Und die ist hier alles, was außerhalb der Kreisscheibe um 1 mit Radius 1 liegt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Sa 20.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> bei dem Satz geht es um die unbeschränkte
> Zusammenhangskomponente von
> [mm]\mathbb{C}\setminus\mbox{Bild}(\Gamma)[/mm].
gut, das hatte ich schon gedacht :)
> Und die ist hier alles, was außerhalb der Kreisscheibe um
> 1 mit Radius 1 liegt?
Ja, und noch ein wenig von der Kreisscheibe selber.
LG Felix
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>
> Ja, und noch ein wenig von der Kreisscheibe selber.
>
Wieso das?
Weil man noch eine kleinere Kreisscheibe um den Weg finden könnte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Sa 20.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ja, und noch ein wenig von der Kreisscheibe selber.
> >
>
> Wieso das?
>
> Weil man noch eine kleinere Kreisscheibe um den Weg finden
> könnte?
erstens das, und zweitens muss der Weg ja kein Kreis sein, womit da noch mehr Flaeche in der Kreisscheibe ist, die nicht vom Weg umschlungen ist.
LG Felix
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Guten Tag !
Mathe-Student im Grundstudium und "sick_of_math" als
Nickname in diesem Mathe-Forum hier ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Da verknoten sich ein paar meiner Gehirn- und Gefühls-
windungen in schmerzhafter Weise. Wenigstens muss
ich sagen, dass da wohl psychologisch ein paar Voraus-
setzungen für ein erfolgreiches Studium gefährdet
sein könnten ...
LG
Al-Chwarizmi
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hehe, kein grund zur beunruhigung. stammt nur aus einem songtext.. ist nicht mein psychologischer zustand^^
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