Zusammenhang von Ableitungen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mo 15.12.2014 | | Autor: | love |
Hallo Leute,
ich verstehe den Zusammenhang zwichen partiellen und totalen Ableitung nicht.Also ich verstehe die Definition nicht.
Soweit ich verstanden habe,wenn f diffbar ist,dann wird es in einer Jacobi-Matrix dargestellt. Die totale 'Ableitung ist vollständig durch die partillen Ableitungen bestimmt und man erhält die richtungableitungen aus der totalen Ableitung.Aber wie bekommt man die partiellen Ableitungen?
2.Frage:Wie rechnet man alle Richtungsableitungen? Ok,ich weiß,wenn alle Richtungsableitungen existieren,dass die Funktion total diffbar ist,aber wie rechnet man alle Richtungsableitungen.
Ich bin voll verwirrt und ich weiß gerade garnicht,was was impliziert. Bitte helft mir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mo 15.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
> ich verstehe den Zusammenhang zwichen partiellen und
> totalen Ableitung nicht.Also ich verstehe die Definition
> nicht.
> Soweit ich verstanden habe,wenn f diffbar ist,dann wird es
> in einer Jacobi-Matrix dargestellt. Die totale 'Ableitung
> ist vollständig durch die partillen Ableitungen bestimmt
> und man erhält die richtungableitungen aus der totalen
> Ableitung.
Der Rahmen: sei D eine nichtleere und offene Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und f:D [mm] \to \R [/mm] eine Funktion. Weiter sei [mm] x_0 \in [/mm] D.
1. Ist f in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar, so ist f in [mm] x_0 [/mm] nach jeder Variablen partiell differenzierbar und [mm] f'(x_0) [/mm] = Jacobimatrix von f in [mm] x_0.
[/mm]
Die Umkehrung ist i.a. falsch:
sei [mm] f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2} [/mm] für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0):=0.
f ist in (0,0) nach x und nach y partiell differenzierbar, aber f ist noch nicht einmal in (0,0) stetig ! Damit ist f in (0,0) auch nicht total differenzierbar.
2. Ist f in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar, so ist f in [mm] x_0 [/mm] nach jeder Richtung a [mm] \in \IR^n [/mm] differenzierbar und für die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial a}(x_0) [/mm] gilt:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial a}(x_0) =f'(x_0)*a$.
[/mm]
Auch hier ist die Umkehrung i.a. falsch:
[mm] f(x,y):=\bruch{xy^2}{x^2+y^4} [/mm] für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0):=0.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial a}(0,0) [/mm] existiert für jede Richtung a. Aber auch hier ist f in (0,0) nicht stetig, also in (0,0) auch nicht total differenzierbar.
> Aber wie bekommt man die partiellen Ableitungen?
Schau nach, wie partielle Ableitungen def. sind !
> 2.Frage:Wie rechnet man alle Richtungsableitungen? Ok,ich
> weiß,wenn alle Richtungsableitungen existieren,dass die
> Funktion total diffbar ist,
Das ist i.a. nicht richtig ! Oben habe ich Dir ein Gegenbeispiel angegeben.
> aber wie rechnet man alle
> Richtungsableitungen.
Sieh Dir die Def. an !
FRED
> Ich bin voll verwirrt und ich weiß gerade garnicht,was
> was impliziert. Bitte helft mir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 15.12.2014 | | Autor: | love |
Also in meinem Skript steht bei der Definition für Riuchtungsableitung: Sei [mm] U\subseteq\IR^n [/mm] offen, f: U [mm] \Rightarrow\IR [/mm] , [mm] x\in [/mm] U und [mm] v\in \IR^n. [/mm] Falls der Grenzwert [mm] \partial [/mm] v [mm] f(x):=\limes_{h\rightarrow\infity} \bruch{f(x+hv)-f(x)}{h} [/mm] die Richtungsableitung von f in x in Richtung v. Aber hier steht doch garnicht wie man alle Richtungsableitungen berechnet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mo 15.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also in meinem Skript steht bei der Definition für
> Riuchtungsableitung: Sei [mm]U\subseteq\IR^n[/mm] offen, f: U
> [mm]\Rightarrow\IR[/mm] , [mm]x\in[/mm] U und [mm]v\in \IR^n.[/mm] Falls der Grenzwert
> [mm]\partial[/mm] v [mm]f(x):=\limes_{h\rightarrow\infity} \bruch{f(x+hv)-f(x)}{h}[/mm]
> die Richtungsableitung von f in x in Richtung v. Aber hier
> steht doch garnicht wie man alle Richtungsableitungen
> berechnet
Doch, nämlich so:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+hv)-f(x)}{h}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 15.12.2014 | | Autor: | love |
ok,also in der Definition steht schon wie man alle Richtungsableitungen berechnet. Aber mein PRoblem ist gerade in einem Prüfungsprotokoll steht wie sind die Richtungsableitungen definiert? Die Anwort weiß ich ja aber die zweite Frage lautet wie rechnet man alle Richtungsableitungen einer Funktion aus. Also reicht doch nicht die Definition oder? Der Prüfling hat mit: (Mit Hilfe des HAuptsatzes ´Zusammenhang zwischen totalen und partiellen Ableitungen´ den Zusammenhang zwischen den Richtungsableitungen,der Jacobi-Matrix und der totalen Ableitung erklärt) geantwortet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:05 Di 16.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Gegenfrage: Steht in dem Protokoll auch, dass der Prüfer von dieser Antwort begeistert war?
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Hiho,
> wie rechnet man alle Richtungsableitungen einer Funktion aus.
ich denke, dich verwirrt hier das "alle". Du bekommst doch alle Richtungsableitungen einfach, indem du v beliebig betrachtest.
Und dann rechne das doch einfach mal an einem Beispiel durch:
$f(x) = [mm] x_1*x_2$
[/mm]
Berechne alle Richtungsableitungen von f.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Di 16.12.2014 | | Autor: | love |
Vielen Dank an jeden,der mir eine Antwort geschrieben hat.
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