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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:23 Di 25.06.2013 | | Autor: | Jodocus |
| Aufgabe | Sei $(X, [mm] \mathcal{O})$ [/mm] ein topologischer Raum, $B [mm] \subseteq [/mm] X$ zusammenhängend und $A [mm] \subseteq [/mm] X$ eine Menge, sodass $B [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset$ [/mm] und $B [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \not= \emptyset$. [/mm]
Dann gilt $B [mm] \cap \partial{A} \not= \emptyset$. [/mm] |
Hallo!
Kann einer von den Experten mal schauen, ob mein Beweis so passt?
Beweis. Durch Widerspruch: Es sei $B [mm] \cap \partial{A} [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Insbesondere ist dann $ B [mm] \subseteq [/mm] (X [mm] \setminus \overline{A}) \cup A^\circ$. [/mm] Offensichtlich sind $(X [mm] \setminus \overline{A})$ [/mm] und [mm] $A^\circ$ [/mm] offen bezüglich [mm] $\mathcal{O}$. [/mm] Ferner gilt wegen [mm] $A^\circ \subset \overline [/mm] A$, dass $(X [mm] \setminus \overline{A}) \cap A^\circ [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Da nach Voraussetzung $B [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset$ [/mm] und $B [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \not= \emptyset$ [/mm] gilt, folgt insbesondere $B [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus \overline{A}) \not= \emptyset$ [/mm] und $B [mm] \cap A^\circ \not= \emptyset$ [/mm] und damit $B = (B [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus \overline{A})) \cup [/mm] (B [mm] \cap A^\circ$). [/mm] Da $B [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus \overline{A}), [/mm] B [mm] \cap A^\circ \in \mathcal{O}_{B} [/mm] := [mm] \{V \cap B : V \in \mathcal{O}\}$ [/mm] nichtleere, offene Mengen bzgl. der Relativtopologie zu $B$ sind, ist $B$ nicht zusammenhängend. Widerspruch.
Also gilt $B [mm] \cap \partial{A} \not= \emptyset$.
[/mm]
Vielen Dank schon mal!
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> Sei [mm](X, \mathcal{O})[/mm] ein topologischer Raum, [mm]B \subseteq X[/mm]
> zusammenhängend und [mm]A \subseteq X[/mm] eine Menge, sodass [mm]B \cap A \not= \emptyset[/mm]
> und [mm]B \cap (X \setminus A) \not= \emptyset[/mm].
> Dann gilt [mm]B \cap \partial{A} \not= \emptyset[/mm].
> Hallo!
>
> Kann einer von den Experten mal schauen, ob mein Beweis so
> passt?
>
> Beweis. Durch Widerspruch: Es sei [mm]B \cap \partial{A} = \emptyset[/mm].
> Insbesondere ist dann [mm]B \subseteq (X \setminus \overline{A}) \cup A^\circ[/mm].
> Offensichtlich sind [mm](X \setminus \overline{A})[/mm] und [mm]A^\circ[/mm]
> offen bezüglich [mm]\mathcal{O}[/mm].
o.k.
> Ferner gilt wegen [mm]A^\circ \subset \overline A[/mm],
> dass [mm](X \setminus \overline{A}) \cap A^\circ = \emptyset[/mm].
ja das kann man daraus schließen.
> Da nach Voraussetzung [mm]B \cap A \not= \emptyset[/mm] und [mm]B \cap (X \setminus A) \not= \emptyset[/mm]
> gilt, folgt insbesondere [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}) \not= \emptyset[/mm]
> und [mm]B \cap A^\circ \not= \emptyset[/mm] und damit [mm]B = (B \cap (X \setminus \overline{A})) \cup (B \cap A^\circ[/mm]).
> Da [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}), B \cap A^\circ \in \mathcal{O}_{B} := \{V \cap B : V \in \mathcal{O}\}[/mm]
> nichtleere, offene Mengen bzgl. der Relativtopologie zu [mm]B[/mm]
> sind, ist [mm]B[/mm] nicht zusammenhängend. Widerspruch.
> Also gilt [mm]B \cap \partial{A} \not= \emptyset[/mm].
>
> Vielen Dank schon mal!
Hm also du meinst: Angenommen B ist nicht zusammenhängend so existieren offene, nicht leere Mengen die B bzgl der Relativtopologie trennen?
Diese Mengen sind bei dir - [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}), B \cap A^\circ [/mm]?
Lg THomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Di 25.06.2013 | | Autor: | Jodocus |
> > Sei
> > Da nach Voraussetzung [mm]B \cap A \not= \emptyset[/mm] und [mm]B \cap (X \setminus A) \not= \emptyset[/mm]
> > gilt, folgt insbesondere [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}) \not= \emptyset[/mm]
> > und [mm]B \cap A^\circ \not= \emptyset[/mm] und damit [mm]B = (B \cap (X \setminus \overline{A})) \cup (B \cap A^\circ[/mm]).
> > Da [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}), B \cap A^\circ \in \mathcal{O}_{B} := \{V \cap B : V \in \mathcal{O}\}[/mm]
> > nichtleere, offene Mengen bzgl. der Relativtopologie zu [mm]B[/mm]
> > sind, ist [mm]B[/mm] nicht zusammenhängend. Widerspruch.
> > Also gilt [mm]B \cap \partial{A} \not= \emptyset[/mm].
> >
> > Vielen Dank schon mal!
>
> Hm also du meinst: Angenommen B ist nicht zusammenhängend
> so existieren offene, nicht leere Mengen die B bzgl der
> Relativtopologie trennen?
> Diese Mengen sind bei dir - [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}), B \cap A^\circ [/mm]?
>
>
>
> Lg THomas
Genau. Zusammenhang ist in dem von mir benutzten Skript so definiert:
Ein topologischer Raum $(X, [mm] \mathcal{O})$ [/mm] heißt zusammenhängend, wenn $X$ nicht die Vereinigung nichtleerer, disjunkter offener Mengen ist. Ist $B [mm] \subseteq [/mm] X$, so heißt $B$ zusammenhängend, wenn der topologische Raum $(B, [mm] \mathcal{O}_{B})$ [/mm] mit der Relativtopologie [mm] $\mathcal{O}_{B}$ [/mm] zusammenhängend ist.
Ich behaupte nun, dass eben diese Mengen die Bedingungen nicht erfüllen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Di 25.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > > Sei
> > > Da nach Voraussetzung [mm]B \cap A \not= \emptyset[/mm] und [mm]B \cap (X \setminus A) \not= \emptyset[/mm]
> > > gilt, folgt insbesondere [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}) \not= \emptyset[/mm]
> > > und [mm]B \cap A^\circ \not= \emptyset[/mm] und damit [mm]B = (B \cap (X \setminus \overline{A})) \cup (B \cap A^\circ[/mm]).
> > > Da [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}), B \cap A^\circ \in \mathcal{O}_{B} := \{V \cap B : V \in \mathcal{O}\}[/mm]
> > > nichtleere, offene Mengen bzgl. der Relativtopologie zu [mm]B[/mm]
> > > sind, ist [mm]B[/mm] nicht zusammenhängend. Widerspruch.
> > > Also gilt [mm]B \cap \partial{A} \not= \emptyset[/mm].
> > >
> > > Vielen Dank schon mal!
> >
> > Hm also du meinst: Angenommen B ist nicht zusammenhängend
> > so existieren offene, nicht leere Mengen die B bzgl der
> > Relativtopologie trennen?
> > Diese Mengen sind bei dir - [mm]B \cap (X \setminus \overline{A}), B \cap A^\circ [/mm]?
>
> >
> >
> >
> > Lg THomas
>
>
> Genau. Zusammenhang ist in dem von mir benutzten Skript so
> definiert:
> Ein topologischer Raum [mm](X, \mathcal{O})[/mm] heißt
> zusammenhängend, wenn [mm]X[/mm] nicht die Vereinigung nichtleerer,
> disjunkter offener Mengen ist. Ist [mm]B \subseteq X[/mm], so heißt
> [mm]B[/mm] zusammenhängend, wenn der topologische Raum [mm](B, \mathcal{O}_{B})[/mm]
> mit der Relativtopologie [mm]\mathcal{O}_{B}[/mm] zusammenhängend
> ist.
>
> Ich behaupte nun, dass eben diese Mengen die Bedingungen
> nicht erfüllen.
Ja ich denke dass das klappen sollte. sofern klar ist dass B tatsächlich die Vereinigung dieser Mengen ist... ?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Di 25.06.2013 | | Autor: | Jodocus |
> > Genau. Zusammenhang ist in dem von mir benutzten Skript so
> > definiert:
> > Ein topologischer Raum [mm](X, \mathcal{O})[/mm] heißt
> > zusammenhängend, wenn [mm]X[/mm] nicht die Vereinigung nichtleerer,
> > disjunkter offener Mengen ist. Ist [mm]B \subseteq X[/mm], so heißt
> > [mm]B[/mm] zusammenhängend, wenn der topologische Raum [mm](B, \mathcal{O}_{B})[/mm]
> > mit der Relativtopologie [mm]\mathcal{O}_{B}[/mm] zusammenhängend
> > ist.
> >
> > Ich behaupte nun, dass eben diese Mengen die Bedingungen
> > nicht erfüllen.
>
> Ja ich denke dass das klappen sollte. sofern klar ist dass
> B tatsächlich die Vereinigung dieser Mengen ist... ?
>
> Lg
>
Das habe ich durch die vorige Argumentation zu begründen versucht. Da $ B [mm] \subseteq [/mm] (X [mm] \setminus \overline{A}) \cup A^\circ [/mm] $ gilt, die Mengen disjunkt sind und die Bedingungen $ B [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm] $ und $ B [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \not= \emptyset [/mm] $ fordern, dass $ B [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus \overline{A}) \not= \emptyset [/mm] $ und $ B [mm] \cap A^\circ \not= \emptyset [/mm] $ (da $ [mm] A^\circ \subseteq [/mm] A $ und wegen $A [mm] \subseteq \overline{A}$ [/mm] ist $ X [mm] \setminus \overline{A} \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A$), dann muss die Vereingung der Schnitte beider Mengen mit $B$ Gesamt-$B$ ergeben. Und da diese Mengen offen sind (bzgl. der Relativtopologie), ist $B$ nicht mehr zusammenhängend.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 29.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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