Zusammenhang: LICQ MFCQ < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:41 So 01.02.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich "kämpfe" mich immernoch durch das Thema "Minimierung mit Nebenbedingungen", und versuche die Zusammenhänge zu verstehen.
Ich hoffe, dass mir jemand hierbei behilflich sein kann.
Zum Einen benötige ich eine Rückmeldung bezüglich eines Beweises, den ich geführt habe. Und zum Anderen hätte ich eine Frage.
So:
Aus der Vorlesung weiß ich, dass bei der Minimierung bei Ungleichungsrestriktionen aus LICQ MFCQ folgt, aber nicht notwendiger weise umgekehrt. Ich habe versucht dies im folgenden Zeilen zu zeigen:
Zu zeigen : LICQ [mm] : \{\nabla g_i( \overline{x} ) \ linear \ unabhaengig \ \} \Rightarrow [/mm] MFCQ : [mm] \{ \exists \overlien{d} \in \mathbb R^n: \nabla g_j ( \overline{x}) ^T \overline{d} < 0 \} [/mm]
Angenommen MFCQ ist verletzt.
Setze [mm] f(d) := \max_{1 \le j \le k } \nabla g_j( \overline{x})^T d [/mm]
Dann ist [mm] \forall d \in \mathbb R^n \ f(d) > 0 [/mm]
Sei [mm] d := 0 [/mm], dann ist d Minimum von f.
[mm] \Rightarrow \ \exists \alpha > 0 [/mm] so dass [mm] \summe_{j } \alpha_j \nabla g_j ( \overline{x}) = 0 [/mm] und [mm] \summe_{j} \alpha_j = 1 [/mm]
Dies ist aber eine Widerspruch zu LICQ.
Somit gilt MFCQ.
Dass aus MFCQ nicht umbedingt LICQ folgt, kann man anhand der folgendes Beispiels zeigen:
Gegenbeispiel:
Seine [mm] g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 [/mm] und [mm] g_2(x) = 3 x_1^2 + 3 x_2^2 [/mm]
Sei weiterhin [mm] \oveline{x} := {1 \choose 1} [/mm] und [mm] \overline{d} := - {1 \choose 1} [/mm].
Dann ist [mm] \nabla g_1 ( \overline{x}) ^T \overline{d} = -4 [/mm] und [mm] \nabla g_2 ( \overline{x}) ^T \overline{d} = -12 [/mm].
Es gilt also MFCQ, aber wie man sieht sind [mm] \nabla g_1 [/mm] und [mm] \nabla g_2 [/mm] linear abhängig.
Wäre denn das so in Ordnung?
Und nun zu meiner Frage:
Aus der Vorlesung geht hervor, dass man die MFCQ im konvexem Fall abändern kann. Und zwar durch die Slater Bedingung.
In der Vorlesung haben wir die folgende Bemerkung:
Falls [mm] g_j [/mm] konvex sind, dann gibt: MFCQ [mm] \Leftrightarrow \exists \tilde x [/mm] mit [mm] g_j( \tilde x ) < 0 [/mm]
1 . Meine erste Frage ist die Aussage rechts von Äquivalenzeichen dio komplette Slater - Bedingung ist, und für welche j diese gilt. Nur für die Menge der aktiven Indizes oder alle?
2 . Und wenn man beweisen möchte, dass im konvexem Fall aus der Slater - Bedingung MFCQ folgt, wie mach ich das?
Viele lieben Dank schon im Voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 09.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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