Zusammenhang Fläche über Verteilungsfunktion und Mittelwert der Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 17.08.2004 | | Autor: | khalil |
Hallo liebe Mathefans,
ich schreibe gerade Diplom Arbeit in VWL. Habe ein Problem mit einem Beweis bei einer Verteilungsfunktion.
Ich kenne einen Beweis in dem gezeigt wird, dass die Fläche über einer Verteilungsfunktion genau dem Mittelwert der Verteilungsfunktion auf dem selben Intervall entspricht.
Mein Problem baut irgendwie auf obigem Beweis auf. siehe dazu Foto
C_oben_quer ist der Mittelwert der Verteilung auf dem Intervall [mm] [0,C_u]
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Würde mich sehr über einen Tipp oder über Interesse an dem Problem freuen.
1000 Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich schreibe gerade Diplom Arbeit in VWL. Habe ein Problem
> mit einem Beweis bei einer Verteilungsfunktion.
>
> Ich kenne einen Beweis in dem gezeigt wird, dass die Fläche
> über einer Verteilungsfunktion genau dem Mittelwert der
> Verteilungsfunktion auf dem selben Intervall entspricht.
Zunächst mal meinst Du wahrscheinlich den Erwartungswert statt den Mittelwert (aber da machen die VWLer ja selten einen Unterschied).
Die Formel, die Du meinst, interpretiere ich mal so:
[mm] E(X)=\int_0^{\infty} (1-F(x))\,dx[/mm]
für eine nichtnegative Zufallsvariable $X$. Ist das die Sache, die Du meinst?
> Mein Problem baut irgendwie auf obigem Beweis auf. siehe
> dazu Foto
> C_oben_quer ist der Mittelwert der Verteilung auf dem
> Intervall [mm][0,C_u]
[/mm]
Hm. Woher hast Du diese Formel? Ich denke, ich habe folgendes Gegenbeispiel gefunden. Nehmen wir mal eine rechteckverteilte Zufallsvariable auf $[0,1]$. Diese hat bekanntlich den Erwartungwert
[mm] $\bar{c}=1/2$. [/mm] Für $F(x)$ hat man
[mm] F(x)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & x<0 \\
x & 0\le x\le 1\\
1 & x>1
\end{array}\right.[/mm]
Also [mm] $C_u=1$. [/mm] Dann gilt mit $1<r<2$
[mm]\int_0^{r/2} F(x)\,dx=\frac{1}{2}x^2|_0^{r/2}=r^2/8[/mm]
und auf der anderen Seite
[mm]r/2-F(r/2)\cdot \frac{1}{2} =\frac{r}{4}\neq r^2/8.[/mm]
Oder hast Du nur einen Schreibfehler?
Gruß
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Mi 18.08.2004 | | Autor: | khalil |
Hallo Brigitte,
> Zunächst mal meinst Du wahrscheinlich den Erwartungswert
> statt den Mittelwert (aber da machen die VWLer ja selten
> einen Unterschied).
Da hast Du recht, ich meinte natürlich den Erwartungswert (im Eifer des Gefechts...)
> Hm. Woher hast Du diese Formel?
Die Formel hatte ich mir selber hergeleitet.
> Ich denke, ich habe folgendes Gegenbeispiel gefunden. Nehmen wir mal > eine rechteckverteilte Zufallsvariable auf [mm][0,1][/mm]. Diese hat > bekanntlich den Erwartungwert
[mm]\bar{c}=1/2[/mm]. Für [mm]F(x)[/mm] hat man
[mm]F(x)=\left\{\begin{array}{cl}
> 0 & x<0 \\[/mm][/mm]
> [mm][mm] x & 0\le x\le 1\\[/mm][/mm]
> [mm][mm] 1 & x>1[/mm][/mm]
> [mm][mm] \end{array}\right.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Also [mm]C_u=1[/mm]. Dann gilt mit [mm]1
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm]\int_0^{r/2} F(x)\,dx=\frac{1}{2}x^2|_0^{r/2}=r^2/8[/mm]
[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]und auf der anderen Seite[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm]r/2-F(r/2)\cdot \frac{1}{2} =\frac{r}{4}\neq r^2/8.[/mm]
Vielen Dank für den Gegenbeweis, mein Fehler scheint schon in der Aufstellung der ursprünglichen Gleichungen zu liegen.
Bin Dir wirklich sehr dankbar für Deine Hilfe,
liebe Grüße,
Khalil
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