Zusammenhängende Räume < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Implikationen gelten für alle zusammenhängenden [mm] A\subset R^n [/mm] und alle zusammenhängenden [mm] B\subset R^n? [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie!
(a)A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset \to [/mm] A [mm] \cup [/mm] B zusammenhängend.
(b)A [mm] \cup [/mm] B zusammenhängend [mm] \to [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm] |
Rein meiner Vorstellung nach stimmt a) aber b) nicht:
zu a) Wenn ich 2 Zusammenhängende Klumpen habe (als solche stelle ich mir die Mengen vor) und diese haben eine nicht leere Schnittmenge, d.h. sie teilen sich mindestens einen Punkt dann folgt daraus, dass sie dann ja eigentlich ein einziger zusammenhängender Klumpen sind.
zu b) wenn eine Vereinigungs-Menge zusammenhängend ist muss sie ein einziger Klumpen sein, und daraus folgt für mich dann nicht dass die schnittmenge nicht leer sein kann, denn man könnte den einen Punkt an dem sich die Mengen berühren ja einfach einer der beiden Menge zuordnen, was dann bedeuten würde dass sie sich zwar berühren, aber keine gemeinsamen Punkte haben
Jetzt müsste ich das ganze Formal noch aufschreiben, könnte mir vielleicht jemand mit einer Definition für zusammenhängende Räume aushelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mo 24.06.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo,
> Jetzt müsste ich das ganze Formal noch aufschreiben,
> könnte mir vielleicht jemand mit einer Definition für
> zusammenhängende Räume aushelfen?
Dein Skript, Wikipedia oder Google können das.
Wenn man die Begriffe einer Aufgabe nicht kennt ist immer der erste Arbeitsschritt diese nachzuschlagen.
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Daran habe ich auch schon gedacht .... Wikipedia sagt folgendes: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum Aber was mir diese 8 Aussagen die unter formaler Definition stehen hier bringen weiß ich leider nicht ... deswegen hatte ich gehofft das jemand eine Definition kennt mit der ich hier was anfangen kann, oder vll welche der 8 aussagen von wikipedia mit hier weiterhilft.
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Hallo,
> Welche der folgenden Implikationen gelten für alle
> zusammenhängenden [mm]A\subset R^n[/mm] und alle zusammenhängenden
> [mm]B\subset R^n?[/mm] Beweisen oder widerlegen Sie!
> (a)A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset \to[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
> zusammenhängend.
> (b)A [mm]\cup[/mm] B zusammenhängend [mm]\to[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Rein meiner Vorstellung nach stimmt a) aber b) nicht:
> zu a) Wenn ich 2 Zusammenhängende Klumpen habe (als
> solche stelle ich mir die Mengen vor) und diese haben eine
> nicht leere Schnittmenge, d.h. sie teilen sich mindestens
> einen Punkt dann folgt daraus, dass sie dann ja eigentlich
> ein einziger zusammenhängender Klumpen sind.
Ja!
Formal nehmen wir die übliche Definiton von zusammenhängend, also die Def. Nr. 2 von Wikipedia.
Nehme an, es gebe offene Mengen $U, V [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ mit
$A [mm] \cup [/mm] B = U [mm] \dot\cup [/mm] V$ (disjunkte Vereinigung).
Zu zeigen ist: Entweder $U = [mm] \emptyset$ [/mm] oder $V = [mm] \emptyset.$ [/mm] Dazu musst du die Voraussetzungen benutzen.
Idee ist: $U [mm] \cap [/mm] A [mm] \subset [/mm] A$ ist offen (Teilraumtopologie), genauso wie $V [mm] \cap [/mm] A [mm] \subset [/mm] A$. Daher hat man eine Zerlegung
$A = (A [mm] \cap [/mm] U) [mm] \dot\cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] V)$
Weil $A$ zusammenhängend ist, muss $A [mm] \cap [/mm] U$ oder $A [mm] \cap [/mm] V$ die leere Menge sein.
Dasselbe Spiel nun mit B.
Nun noch $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset$ [/mm] benutzen...
> zu b) wenn eine Vereinigungs-Menge zusammenhängend ist
> muss sie ein einziger Klumpen sein, und daraus folgt für
> mich dann nicht dass die schnittmenge nicht leer sein kann,
> denn man könnte den einen Punkt an dem sich die Mengen
> berühren ja einfach einer der beiden Menge zuordnen, was
> dann bedeuten würde dass sie sich zwar berühren, aber
> keine gemeinsamen Punkte haben
Ja!
Konkretes Gegenbeispiel: Der Raum $[0,2] = [0,1) [mm] \cup [/mm] [1,2]$.
Bekanntermaßen ist $[0,1)$ und $[1,2]$ zusammenhängend, aber der Schnitt ist leer, und auch $[0,2]$ ist zusammenhängend.
Viele Grüße,
Stefan
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Ok, ich glaube ich habe es. Danke euch.
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