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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 22.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Es seien A und B reelle, positiv definite Matrizen.
Zeigen:
1. Die Matrix A ist regülar und [mm] A^{-1} [/mm] ist positiv definit.
2. Alle ganzzahligen Potenzen von A sind positiv definit.
3. Die Matrix A+B ist positiv definit.
Wie kann ich sowas am besten beweisen?
MFG
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Ich wuerde es so machen:
1) Durch Widerspruch. Angenommen $A$ ist singulaer, dann gibt es ein [mm] $v\neq [/mm] 0$ so dass $Av=0$, was folgt jetzt daraus zusammen mit der Positivitaet der Matrix? (Benutze die Definition der Positivitaet einer Matrix!). Existiert dann [mm] $A^{-1}$, [/mm] gibt es zu jedem $w$ ein $v$ mit $Av=w$. Jetzt schreibst du [mm] $\langle A^{-1}w,w\rangle$ [/mm] und benutzt $Av=w$.
2) Es reicht die Behauptung fuer [mm] $A^k$, $k\in\IN$ [/mm] zu beweisen, da negative Potenzen von $A$ positive Potenzen von [mm] $A^{-1}$ [/mm] sind. Ich wuerde das per Induktion ueber $k$ machen und die Matrix-Multiplikation einmal ausschreiben. Versuch's mal
3) Das ist einfach. Schreib [mm] $\langle [/mm] (A [mm] +B)v,v\rangle$ [/mm] und expandiere den Ausdruck, dann siehst du es sofort.
LG Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Di 22.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
meinst du mit der positivität die positiv definitheit?
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> meinst du mit der positivität die positiv definitheit?
Ja, das meint er.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 22.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
zu teil zwei von 1.
hab dann [mm] [/mm] = [mm]
[/mm]
und dann hebt sich doch [mm] A^{-1} [/mm] mit A weg oder nicht?
Aber wieso zeigt das dann positiv definit?
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> zu teil zwei von 1.
> hab dann [mm][/mm] = [mm][/mm]
> und dann hebt sich doch [mm]A^{-1}[/mm] mit A weg oder nicht?
Hallo,
ist zwar nicht hübsch ausgedrückt, aber [mm] A^{-1}Av=v, [/mm] das stimmt.
> Aber wieso zeigt das dann positiv definit?
Das sehe ich im Moment auch nicht, zumal das verwendete Skalarprodukt bisher nicht definiert ist.
Aber Du kannst es so machen: Du weißt, daß wie von kornfeld bereits angemerkt zu jedem w ein v existiert mit w=Av.
Nun berechnest Du [mm] w^tA^{-1}w=... [/mm] und führst das zurück auf Informationen, die Du über A hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 22.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
was meinst du bei 3. mit expandieren?
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> was meinst du bei 3. mit expandieren?
Das Skalarprodukt ausschreiben und auflösen.
Allerdings, dasselbe Problem: es wurde bisher kein Skalarprodukt definiert.
Du kannst es aber sehr ähnlich wie zuvor machen:
Sei v [mm] \in [/mm] V.
Was ist [mm] v^t(A+B)v?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Di 22.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
Liebe Angela,
Die Positivitaet eines Endomorphismus wird - meines Wissens nach - haeufig mittels eines Skalarproduktes erklaert. Der Begriff ist also gueltig fuer alle Endomorphismen auf Hilbertraeumen. Eine Matrix kann ein Beispiel fuer so einen Endomorphismus sein.
Sollte ich mich dennoch irren, beachte, dass ich nirgendwo eigentlich benutzt habe, dass [mm] $\lange,\rangle$ [/mm] ein Skalarprodukt ist. Du kannst es auch als duale Paarung interpretieren. Vielleicht fragen wir mal den Aufgabensteller persoenlich, unter welchen Voraussetzungen die Aufgabe gestellt war.
Liebe Gruesse, Kornfeld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Wir haben erst heute das Skalarprodukt definiert also kann ich es doch jetzt damit lösen. Danke jetzt weiß ich bescheid...
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