Zusammenfassen von Summen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{11} [/mm] (2n+1)² - [mm] \summe_{i=1}^{12} [/mm] (2i-3)²
Es soll rauskommen:
[mm] \summe_{i=0}^{11} ((2i+1)²-(2i-1)²)=\summe_{i=0}^{11}(8i)=582
[/mm]
??? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Kann mir jemand helfen diese Summenausdrücke zusammenzufassen. Ich habe zwar die Lösung vor mir liegen aber der Lösungsweg ist mir ein Rätsel
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Hallo wiczynski777,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\sum_{n=0}^{11}{(2n+1)^2} - \sum_{i=1}^{12}{(2i-3)^2}[/mm]
Also zunächst einmal verallgemeinern wir dein Problem, indem wir statt 11 und 12 beliebige Summationsgrenzen [mm]z[/mm] und [mm]z+1[/mm] betrachten. Außerdem ist die Summationsreihenfolge bei endlichen Summen egal, weshalb wir hier gleiche Indizes verwenden können. Jetzt passen wir die Summen aneinander an:
[mm]\sum_{i=0}^z{(2i+1)^2} - \sum_{i=0}^z{(2(i+1)-3)^2}=
\sum_{i=0}^z{(2i+1)^2} - \sum_{i=0}^z{(2i-1)^2} = \sum_{i=0}^z{\left((2i+1)^2-{(2i-1)^2\right)}[/mm]
[mm]= \sum_{i=0}^z{(2i+1-2i+1)(2i+1+2i-1)} = 8\sum_{i=0}^z{i}=8\frac{z(z+1)}{2} = 4z(z+1).[/mm]
Für [mm]z = 11[/mm] erhalte ich 528 (und nicht 582).
Grüße
Karl
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Danke Karl hast mir sehr geholfen
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