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| Aufgabe | Bei der Messung des Zerfalls zweier radioaktiver Stoffe hat man zu verschiedenen Zeiten [mm] t_i [/mm] die Strahlungsintensität [mm] s_i [/mm] beobachtet:
[mm] t_i [/mm] | 0 1 2 3
[mm] s_i [/mm] | 4.3 1.48 0.56 0.24
Aufgrund der verschiedenen Halbwertszeiten (0.5 bzw 1 Zeiteinheit) macht man für die Strahlungsintensität den Ansatz:
[mm] s(t)=a_1 [/mm] * [mm] 2^{-2t} [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] 2^{-t} [/mm] .
Bestimmen Sie die Parameter [mm] a_1,a_2 [/mm] mit der Methode der kleinsten Quadrate, d.h.
[mm] \summe_{i=0}^{3}|s(t_j)-s_j| [/mm] |
Hallo MR-Team,
ich habe diese Aufgabe volgendermaßen gelöst:
wir kennen einen Satz der besagt, dass die Lösung eines Systems Ax=b
durch den Vektor [mm] x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b [/mm] gegeben ist.
So will ich die Aufgabe nun lösen:
[mm] A:=\pmat{ 2^{-2t_0} & 2^{-t_0} \\ 2^{-2t_1} & 2^{-t_1} \\ 2^{-2t_2} & 2^{-t_2} \\ 2^{-2t_3} & 2^{-t_3}} [/mm] , [mm] x:=\vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] , [mm] b:=\vektor{s_0 \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3}
[/mm]
[mm] A^{T}A=\pmat{ 2^{-4t_0} + 2^{-4t_1} + 2^{-4t_2} + 2^{-4t_3} & 2^{-3t_0} + 2^{-3t_1} + 2^{-3t_2} + 2^{-3t_3} \\ 2^{-3t_0} + 2^{-3t_1} + 2^{-3t_2} + 2^{-3t_3} & 2^{-2t_0} + 2^{-2t_1} + 2^{-2t_2} + 2^{-2t_3} }=\pmat{ a & b \\ b & d }
[/mm]
[mm] \Rightarrow (A^{T}A)^{-1}=\bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }
[/mm]
[mm] \Rightarrow (A^{T}A)^{-1}A^{T}b [/mm] = [mm] \bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }A^{T}\vektor{s_0 \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3}=\bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }\pmat{ 2^{-2t_0}*s_0 + 2^{-2t_1}*s_1 + 2^{-2t_2}*s_2 + 2^{-2t_3}*s_3 \\ 2^{-t_0}*s_0 + 2^{-t_1}*s_1 + 2^{-t_2}*s_2 + 2^{-t_3}*s_3 }=\bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }\vektor{e \\ f }
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{ad-b^2}\vektor{de-bf \\ -be+af }
[/mm]
So, ich hoffe bis jetzt stimmt noch alles.
Meine eigentliche Frage laute nun: wie komme ich nun vor lauter a's und b's an mein [mm] \underline{x}=\vektor{a_1 \\ a_2}?
[/mm]
Wenn ich das ganze jetzt in Summen(zeichen) zusammenfasse, weiß ich nicht, wie ich da an eine Lösung kommen soll (und alles wieder in [mm] 2^{...} [/mm] umschreiben ist auch nicht viel besser).
Danke für eure Tipps
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> Bei der Messung des Zerfalls zweier radioaktiver Stoffe hat
> man zu verschiedenen Zeiten [mm]t_i[/mm] die Strahlungsintensität
> [mm]s_i[/mm] beobachtet:
> [mm]t_i[/mm] | 0 1 2 3
> [mm]s_i[/mm] | 4.3 1.48 0.56 0.24
>
> Aufgrund der verschiedenen Halbwertszeiten (0.5 bzw 1
> Zeiteinheit) macht man für die Strahlungsintensität den
> Ansatz:
> [mm]s(t)=a_1[/mm] * [mm]2^{-2t}[/mm] + [mm]a_2[/mm] * [mm]2^{-t}[/mm] .
>
> Bestimmen Sie die Parameter [mm]a_1,a_2[/mm] mit der Methode der
> kleinsten Quadrate, d.h.
> [mm]\summe_{i=0}^{3}|s(t_j)-s_j|[/mm]
> Hallo MR-Team,
>
> ich habe diese Aufgabe volgendermaßen gelöst:
>
> wir kennen einen Satz der besagt, dass die Lösung eines
> Systems Ax=b
> durch den Vektor [mm]x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b[/mm] gegeben ist.
> So will ich die Aufgabe nun lösen:
>
> [mm]A:=\pmat{ 2^{-2t_0} & 2^{-t_0} \\ 2^{-2t_1} & 2^{-t_1} \\ 2^{-2t_2} & 2^{-t_2} \\ 2^{-2t_3} & 2^{-t_3}}[/mm]
> , [mm]x:=\vektor{a_1 \\ a_2}[/mm] , [mm]b:=\vektor{s_0 \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3}[/mm]
>
> [mm]A^{T}A=\pmat{ 2^{-4t_0} + 2^{-4t_1} + 2^{-4t_2} + 2^{-4t_3} & 2^{-3t_0} + 2^{-3t_1} + 2^{-3t_2} + 2^{-3t_3} \\ 2^{-3t_0} + 2^{-3t_1} + 2^{-3t_2} + 2^{-3t_3} & 2^{-2t_0} + 2^{-2t_1} + 2^{-2t_2} + 2^{-2t_3} }=\pmat{ a & b \\ b & d }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (A^{T}A)^{-1}=\bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (A^{T}A)^{-1}A^{T}b[/mm] = [mm]\bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }A^{T}\vektor{s_0 \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3}=\bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }\pmat{ 2^{-2t_0}*s_0 + 2^{-2t_1}*s_1 + 2^{-2t_2}*s_2 + 2^{-2t_3}*s_3 \\ 2^{-t_0}*s_0 + 2^{-t_1}*s_1 + 2^{-t_2}*s_2 + 2^{-t_3}*s_3 }=\bruch{1}{ad-b^2}\pmat{ d & -b \\ -b & a }\vektor{e \\ f }[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{ad-b^2}\vektor{de-bf \\ -be+af }[/mm]
>
> So, ich hoffe bis jetzt stimmt noch alles.
> Meine eigentliche Frage laute nun: wie komme ich nun vor
> lauter a's und b's an mein [mm]\underline{x}=\vektor{a_1 \\ a_2}?[/mm]
>
> Wenn ich das ganze jetzt in Summen(zeichen) zusammenfasse,
> weiß ich nicht, wie ich da an eine Lösung kommen soll
> (und alles wieder in [mm]2^{...}[/mm] umschreiben ist auch nicht
> viel besser).
>
> Danke für eure Tipps
>
[mm] \vektor{a_1\\a_2} [/mm] ist ja gerade die Lösung des Gleichungssystems [mm] A^TA\vektor{a_1\\a_2}=A^Tb, [/mm] also
[mm] \vektor{a_1\\a_2}=(A^TA)^{-1}A^Tb
[/mm]
Dafür musst du natürlich für [mm] t_i [/mm] und [mm] s_i [/mm] die jeweiligen Werte einsetzen.
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