Zum Thema Wurzelgleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Snooze |
Hallo zusammen,
in Mathe bekammen wir folgendes Problem gestellt.
Man Löse:
[mm] \wurzel[3]{(x+2)} [/mm] + 4 = [mm] \wurzel{(20+2x)}
[/mm]
Nun habe ich Versucht mit meinen Mitteln dem Problem her zu werden, und habe versucht, durch Quadrieren, dann später auch Kubizieren das Ding zu knacken.
Doch immer wieder kommt, da es sich immer - egal wie man es umstellt, jeweils um eine binomische Formel handelt - eine erneute Quadratwurzel oder Wurzel dritter Ordnung ins Spiel, welche sich auch nicht durch nochmaliges Quadrieren oder Kubizieren beseitigen lassen.
Mein nächster Lösungsansatz war es dann vielleicht beide Seiten im Grade 6 zu Potenzieren. Aber auch hier war die "Idee" nicht von Erfolg gekrönt, da beim auswerten des Binoms stets wieder unbeherschbare Wuzelausdrücke verschiedener Grade entstehen...
Eine Befragung verschiedener Leutz hat leider auch keine neuen Ansatzpunkte erbracht.
Mein nächster Lösungsansatz wäre vielleicht in einer Reihenentwicklung zu suchen. Dann könnte man die Wurzeln als Teile einer zu suchenden Reihe interpretieren, welche ja gegen einen Wert konvertiert. Nun würde man die Wurzeln gegen eine eine, die Lösung beinhaltende, "einfacherere" Funktion eintauschen dürfen, und könnte das Aufgabe lösen.
Leider fehlt mir so ziehmlich viel Handwerkzeug, um diesen Ansatz auch rechnerisch nachzuvollziehen zu können, oder erstmal die Gewissheit, dass ich mit diesem Ansatz nicht völlig auf dem Holzweg bin.
Mein Frage lautet : Wie sehen Lösungsansätze für diese Aufgabe aus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichem Gruss,
der Snooze
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> Hallo zusammen,
> in Mathe bekammen wir folgendes Problem gestellt.
>
> Man Löse:
>
> [mm]\wurzel[3]{(x+2)}[/mm] + 4 = [mm]\wurzel{(20+2x)}[/mm]
>
> Nun habe ich Versucht mit meinen Mitteln dem Problem Herr zu
> werden,
Hallo snooze,
Du und deine Leute, Ihr habt das wichtigste der Euch zur Verfügung stehenden Mittel vergessen.
Wie würde denn ein Kind oder irgendein Mensch, der nicht in der Mathevorlesung war, darangehen? Reihenentwicklung??? Quatsch!!! Die würden mit ganzen Zahlen ein bißchen probieren...
Und damit kann man bei dieser Aufgabe große Erfolge feiern! Probier's mal! 2? 1? 0? ...
Ich höre schon Deinen Einwand: Du wolltest es ja AUSRECHNEN!
Das scheint mir aber nicht gefordert zu sein. Gesucht ist eine Lösung. Eine Lösung ist das Ding, welches die Aufgabe löst, und wenn's vom Himmel gefallen ist.
Ich verbreite mich darüber so, weil es ziemlich oft Gleichungen gibt, die per Auflösen nach x nicht oder nur sehr schwer zu lösen wären. Da ist Raten das Mittel der Wahl, und wenn man es ein bißchen gezielt betreibt, erst recht.
Viel Spaß beim fröhlichen Zahlenraten! Oder hast Du's schon?
Gruß v. Angela
P.S.: Wie man das x hier schnell freigestellt bekommt, kann ich Dir nicht sagen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 18.10.2005 | | Autor: | Snooze |
Nun um diesem Problem einen treffenden Abschluss zu geben :
Ja, man kann Eine der drei Lösungen durch probieren oder mit scharfem Blick herauserkennenn.
Um jedoch die anderen beiden Lösungen zu finden, die nicht trivial, sondern schon verzwickt und real sind, ist Marc's Ansatz Gold wert:
Dazu ist aber auch festzustellen, das dieser Ansatz nur nicht hier scheitert, weil die Zahlen "grad recht gut passen"... Eine allg. Lösung ist wohl nicht möglich, da auch die Reihenentwicklung, wenn überhaupt nur eine Näherungslösung liefert; ebenso die graphische Lösung...
Trotzdem ::Es wäre doch noch schön eine geschlossene Lösung zu erhalten!
Oder müssen wir einsehen, dass wir eine Wurzelgleichung verschiedener Grade, die so locker flupfig daher kommt nicht geschlossen lösen können?
Vielen Dank für eure Beiträge :)
[mm] \wurzel[3]{(x+2)} [/mm] + 4 = [mm] \wurzel{(2x+20)}
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] -2
[mm] x_{2}=17/16 [/mm] (1 + [mm] \wurzel{65})
[/mm]
[mm] x_{3}=17/16 [/mm] (1 - [mm] \wurzel{65})
[/mm]
PS:: die Lösungen und das Wissen darum hab ich heut aus der Lesung :)
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:18 Di 18.10.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo snooze,
hier mein Lösungsvorschlag. Du kannst die Gleichung in die 3. Pozenz setzen:
[mm]\wurzel[3]{(x+2)} + 4 = \wurzel{(20+2x)}[/mm] | ( [mm] )^3
[/mm]
(x+2) + [mm] 4^3 [/mm] = (20+2x)*[mm]\wurzel{(20+2x)}[/mm]
(x+2)+64 = (20+2x)*[mm]\wurzel{(20+2x)}[/mm] | quadrieren
[mm] (x+66)^2 [/mm] = [mm] (20+2x)^2 [/mm] *(20+2x)
[mm] 8x^3+239x^2+2268x+3644=0 [/mm]
x = -2
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> Hallo snooze,
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> hier mein Lösungsvorschlag. Du kannst die Gleichung in die
> 3. Pozenz setzen:
>
> [mm]\wurzel[3]{(x+2)} + 4 = \wurzel{(20+2x)}[/mm] | ( [mm])^3[/mm]
>
> (x+2) + [mm]4^3[/mm] = (20+2x)*[mm]\wurzel{(20+2x)}[/mm]
Das stimmt nicht, obgleich es so schön wäre. Es ist aber [mm] (a+b)^3 \not= a^3+b^3
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Di 18.10.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo.
sorry, du hast recht! Aber die Lösung stimmt! 0der? Sonderbar!? Oder habe ich mich da auch verrechnet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Di 18.10.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo,
in derartigen Fällen müssen graphische oder numerische Näherungsverfahren herangezogen werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 18.10.2005 | | Autor: | Snooze |
Wie also schon in der Mitteilung richtig angemerkt wurde, geht es hier leider nicht nach der Manier "Wie man leicht sieht..." ;
Es geht hier um die Findung einer allg. geschlossenen Lösung für das Problem einer Wurzelgleichung verschiedener Grade.
So habe ich zuletzt die Lösung in einer Reihenentwicklung gesucht, indem man die Wurzeln mit steigender Potenz als aufsummierte Wurzelausdrücke einer Reihe auffasst, die gegen einen konstanten Wert läuft. Dabei soll es das Ziel sein, diese dann gefundene Reihe, aneinander gereihter Wurzeln, gegen eine "einfachere" Funktion zu ersetzen, und mit dieser die Lösungen auszurechnen, welche dann auch Lösungen der ursprünglichen Wurzelgleichungen sind:
Nehmen wir also unsere Ausgangsfunktion:
[mm] \wurzel[3]{(x+2)} [/mm] + 4 = [mm] \wurzel{(2x+20)} [/mm] ;
Dann fassen wir die Wurzelausdrücke als zwei Reihenglieder einer zu bestimmenden Reihe auf, welche gegen 4 strebt :
4 = [mm] \wurzel{(2x+20)} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{(x+2)} [/mm] ;
Durch das Verfahren der vollständigen Induktion gelangt man zu der Summenformel,
der zu bestimmenden Reihe, (womit sie dann ja bestimmt wäre) :
[mm] \summe_{i=1}^{- \infty} [/mm] - ( [mm] 2^{i}x [/mm] + 2 [mm] \*10^{i})^{( \bruch{1}{-i+3})} [/mm] ; Nachtrag :: da stimmt was mit dem Vorzeichen nicht (?)
--->alternierend ?
Und hier komm ich dann erst mal nicht weiter;
Es wäre schön wenn jemand tatsächlich noch zur Kontrolle die ersten beiden Wurzelglieder aus der Summenformel der Reihe entwickelt.
Ich selbst mach das ja hier auch zum ersten mal und wäre sehr interessiert daran diese allg. Lösung zu finden, weil es sie ja wohl so noch nicht gibt, oder gern auch den kurzen Nachweiss, dass es für dieses Problem keine allg. Lösung gibt.
Nehmen wir an, meine Annahmen und Rechnungen stimmen soweit erstmal. Dann stehen wir also nun vor dem Problem diese gewisse "einfache" Funktion zu finden , gegen die wir die Reihe ersetzen dürfen. Dabei bin ich mir dem Problem bewusst, das wir ursprünglich genau drei Lösungen hatten, und in der Reihe nun [mm] \infty [/mm] viele.
Ich hoffe dieses Problem durch Restricktionen wet machen zu können, weil wir ja nicht die gesammte Reihe in der Ursprungsfunktion betrachteten, sondern nur die ersten zwei Glieder daraus, wodurch sich ja die Anzahl der Lösungen ergibt. Bei drei Gliedern der Reihe hätten wir wohl vier Lösungen bekommen.
Kurzum: Es geht nun darum eine "einfachere" Funktion zu finden, die durch die oben beschriebene Reihe dagestellt werden kann.
Ähnlich wie man eine Funktion 1. Ordnung auch durch eine Reihe von Sinusfunktionen dastellen kann, nur anders herum : Aus der Reihe die Funktion.
Vielen Dank für eure Beiträge...
Mit freundlichem Gruss,
euer Snooze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 19.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Snooze
> Wie also schon in der Mitteilung richtig angemerkt wurde,
> geht es hier leider nicht nach der Manier "Wie man leicht
> sieht..." ;
> Es geht hier um die Findung einer allg. geschlossenen
> Lösung für das Problem einer Wurzelgleichung verschiedener
> Grade.
> So habe ich zuletzt die Lösung in einer Reihenentwicklung
> gesucht, indem man die Wurzeln mit steigender Potenz als
> aufsummierte Wurzelausdrücke einer Reihe auffasst, die
> gegen einen konstanten Wert läuft. Dabei soll es das Ziel
> sein, diese dann gefundene Reihe, aneinander gereihter
> Wurzeln, gegen eine "einfachere" Funktion zu ersetzen, und
> mit dieser die Lösungen auszurechnen, welche dann auch
> Lösungen der ursprünglichen Wurzelgleichungen sind:
> Nehmen wir also unsere Ausgangsfunktion:
Durch eine Reihe kannst du nicht eine "einfachere" Funktion finden! Was bringt dich auf diese Idee?
> [mm]\wurzel[3]{(x+2)}[/mm] + 4 = [mm]\wurzel{(2x+20)}[/mm] ;
>
> Dann fassen wir die Wurzelausdrücke als zwei Reihenglieder
> einer zu bestimmenden Reihe auf, welche gegen 4 strebt :
>
> 4 = [mm]\wurzel{(2x+20)}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{(x+2)}[/mm] ;
>
> Durch das Verfahren der vollständigen Induktion gelangt man
> zu der Summenformel,
> der zu bestimmenden Reihe, (womit sie dann ja bestimmt
> wäre) :
Wieso kommst du auf diese Reihe? Das Verfahren der vollst. Induktion kann man dazu sicher nicht benutzen!
> [mm]\summe_{i=1}^{- \infty}[/mm] - ( [mm]2^{i}x[/mm] + 2 [mm]\*10^{i})^{( \bruch{1}{-i+3})}[/mm]
Ich sehe nicht, was diese Reihe ausser dem 1.Glied mit den 2 Wurzeln zu tun hat!
> ; Nachtrag :: da stimmt was mit dem Vorzeichen nicht (?)
>
> --->alternierend ?
>
> Und hier komm ich dann erst mal nicht weiter;
>
> Es wäre schön wenn jemand tatsächlich noch zur Kontrolle
> die ersten beiden Wurzelglieder aus der Summenformel der
> Reihe entwickelt.
Da musst du genauer sagen, was die Reihe sein soll!
> Ich selbst mach das ja hier auch zum ersten mal und wäre
> sehr interessiert daran diese allg. Lösung zu finden, weil
> es sie ja wohl so noch nicht gibt, oder gern auch den
> kurzen Nachweiss, dass es für dieses Problem keine allg.
> Lösung gibt.
> Nehmen wir an, meine Annahmen und Rechnungen stimmen
> soweit erstmal. Dann stehen wir also nun vor dem Problem
> diese gewisse "einfache" Funktion zu finden , gegen die wir
> die Reihe ersetzen dürfen. Dabei bin ich mir dem Problem
> bewusst, das wir ursprünglich genau drei Lösungen hatten,
> und in der Reihe nun [mm]\infty[/mm] viele.
Wenn man irgendeine konvergente unendliche Reihe hat, so hat sie nicht unendlich viele Lösungen. die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^{i}}{i!}=4 [/mm] hat z.Bsp. nur eine Lösung x=ln4!
> Ich hoffe dieses Problem durch Restricktionen wet machen
> zu können, weil wir ja nicht die gesammte Reihe in der
> Ursprungsfunktion betrachteten, sondern nur die ersten zwei
> Glieder daraus, wodurch sich ja die Anzahl der Lösungen
> ergibt. Bei drei Gliedern der Reihe hätten wir wohl vier
> Lösungen bekommen.
> Kurzum: Es geht nun darum eine "einfachere" Funktion zu
> finden, die durch die oben beschriebene Reihe dagestellt
> werden kann.
Falls du die Reihe hättest, wäre die einfache Fkt. einfach deine 2 Wurzeln!
> Ähnlich wie man eine Funktion 1. Ordnung auch durch eine
> Reihe von Sinusfunktionen dastellen kann, nur anders herum
Eine Fkt. erster Ordnung kann man NICHT durch eine Reihe von sin-Fkt. darstellen! Nur periodische Fktn. kann man durch sog. Fourrierreihen darstellen!
Ich glaub, du hast eine falsche Vorstellungen über Funktionen, die man durch Reihen darstellen kann. Üblicherweise versucht man komplizierte Funktionen durch Potenzreihen darzustellen, meist Taylorreihen,die dann die Fkt in einer bestimmten Umgebung annähern.
Dein Problem selbst ist allerdings zu lösen: erstens mit Marcs Methode, die nicht nur für bestimmte Zahlen gilt, sondern immer klappt, wenn unter der Wurzel nur ax+b steht.
Oder auch einfach [mm] \wurzel[3]{p1(x)}= \wurzel[2]{p2(x)}+k; [/mm] p1(x),p2(x) 2 beliebige Polynome. Beide Seiten hoch 3. ergibt:
[mm] $p1(x)=p2(x)*\wurzel[2]{p2(x)}+3*k*p2(x)+3*k^{2}*\wurzel[2]{p2(x)}+k^{3}$;daraus:
[/mm]
[mm] $p1(x)-3*k*p1(x)-k^{3}=\wurzel[2]{p2(x)}*(p2(x)+3*k^{2})$
[/mm]
Jetzt noch quadrieren und du hast eine Gleichung nten Grades, für die es für n>3 allerdings auch kein allgemeines Lösungsverfahren gibt!
Wenn du genauere Fragen zu Reihen hast, erzähl, was du darüber weisst, dann können wir vielleicht weiterhelfen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Snooze |
Hallo Leduart,
ja, danke...
das waren doch mal wichtige Infos...
Tatsächlich sollte ich zum Thema Reihen noch mal nachlesen, und es ging mir dabei um eine Idee für ein Problem, welche ja nun falsch ist.
Danke für eure Beiträge,
Grüße Snooze.
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