Zufluss-und Abflussfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Mo 30.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
| Aufgabe | Ein leeres Becken hat einen Zufluss und einen Abfluss. Zunächst wird der Zufluss 15 min geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit beträgt 300 l/min.
Dann wird 20 min lang der Zufluss geschlossen und der Abfluss geöffnet. Die Abflussgeschwindigkeit beträgt 100 l/min.
a) Zeichne den Graphen der Funktion Zeitdauer->Zuflussgeschwindigkeit
b) Wie viel l befinden sich nach 5,10,15,20,25,30,35 min im Becken?
c) f sei die Funktion Zeitdauer (in min) -> Zuflussgeschwindigkeit (in l/min). Berechne [mm] \integral_{0}^{35}{f(x) dx}. [/mm] Welcher Zusammenhang besteht mit den Ergebnissen von Teilaufgabe b) ? |
Hallo ihr Lieben,
schreibe übermorgen eine Klausur über Integralrechnung und versuche gerade diese an sich ja einfache Textaufgabe zu lösen.
a) ist klar, aber bei b) muss bei mir irgendwas falsch sein:
Beispiel: Nach fünf Minuten sind [mm] 5\times300= [/mm] 1500 liter im Becken.
Ich dachte, dass müsste ich auch durch Integralrechnung rauskriegen:
f'(x)= 300 x
F(x) = 150 [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{5}{300x dx}= 150\times5^{2}= [/mm] 3750
Aber da müsste doch eigentlich auch 1500 liter rauskommen?? Wo steckt hier der Fehler?
Wäre toll, wenn mir jemand dazu antworten könnte!
Liebe Grüsse
MilkyLin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo MilkyLin!
> Ein leeres Becken hat einen Zufluss und einen Abfluss.
> Zunächst wird der Zufluss 15 min geöffnet. Die
> Zuflussgeschwindigkeit beträgt 300 l/min.
> Dann wird 20 min lang der Zufluss geschlossen und der
> Abfluss geöffnet. Die Abflussgeschwindigkeit beträgt 100
> l/min.
> a) Zeichne den Graphen der Funktion
> Zeitdauer->Zuflussgeschwindigkeit
> b) Wie viel l befinden sich nach 5,10,15,20,25,30,35 min
> im Becken?
> c) f sei die Funktion Zeitdauer (in min) ->
> Zuflussgeschwindigkeit (in l/min). Berechne
> [mm]\integral_{0}^{35}{f(x) dx}.[/mm] Welcher Zusammenhang besteht
> mit den Ergebnissen von Teilaufgabe b) ?
> Hallo ihr Lieben,
>
> schreibe übermorgen eine Klausur über Integralrechnung und
> versuche gerade diese an sich ja einfache Textaufgabe zu
> lösen.
>
> a) ist klar, aber bei b) muss bei mir irgendwas falsch
> sein:
>
> Beispiel: Nach fünf Minuten sind [mm]5\times300=[/mm] 1500 liter im
> Becken.
> Ich dachte, dass müsste ich auch durch Integralrechnung
> rauskriegen:
>
> f'(x)= [mm] \red{300 x}
[/mm]
Hier steckt der Fehler. Es müsste zum einen lauten f(x) und zum anderen müsstest du die Zuwachsrate von 300 über die Zeit (repräsentiert durch die variable x) integrieren.
Es gilt somit: f(x)=300
Wenn du davon das bestimmte Integral [mm] \integral_{0}^{5}{300 dx} [/mm] bildest solltest du auf den richtigen Wertkommen.
> F(x) = 150 [mm]x^{2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{5}{300x dx}= 150\times5^{2}=[/mm] 3750
>
> Aber da müsste doch eigentlich auch 1500 liter rauskommen??
> Wo steckt hier der Fehler?
>
> Wäre toll, wenn mir jemand dazu antworten könnte!
>
> Liebe Grüsse
> MilkyLin
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Hallo,
danke für deine Antwort, aber ich verstehe es immer noch nicht wirklich...
Die Zuflussfunktion muss doch f'(x) sein? Die erste Ableitung einer Funktion gibt doch immer Änderungen der Stammfunktion an.
Und die Zuflussfunktion gibt ja an, wie sich die Inhaltsfunktion in diesem Falle ändert.
Daher verstehe ich nicht, wieso die Zuflussfunktion plötzlich f(x) sein soll?
Schreibe morgen die Klausur und fände es toll, wenn mir jemand möglichst schnell antworten könnte...
Liebe Grüsse
MilkyLin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort, aber ich verstehe es immer noch
> nicht wirklich...
>
> Die Zuflussfunktion muss doch f'(x) sein? Die erste
> Ableitung einer Funktion gibt doch immer Änderungen der
> Stammfunktion an.
> Und die Zuflussfunktion gibt ja an, wie sich die
> Inhaltsfunktion in diesem Falle ändert.
Das ist Prinzipiell richtig. Wie berechnest du denn f, Wenn du f' gegeben hast? Doch wohl mit der Stammfunktion zu f', was ja f ist.
Nur schreibt man es dann meistens mit f und der Stammfunktion F.
>
> Daher verstehe ich nicht, wieso die Zuflussfunktion
> plötzlich f(x) sein soll?
>
Weil die Menge des zufliessenden Wassers genau die Fläche unter dem Graphen von f ist, und du diese mit [mm] \integral_{0}^{5}f(x)=\left[F(x)\right]_{0}^{5}=F(5)-F(0) [/mm] berechnest.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Hallo!
Danke für deine Antwort!
Genau so, wie du es beschreibst, habe ich es ja auch gerechnet:
f'(x)=300x ; F(x) = [mm] 150x^{2}
[/mm]
[mm] also:\integral_{0}^{5}{300x dx} [/mm] = 150/times [mm] 5^{2} [/mm] =3750
Aber wenn ich das ganz einfach rechne: [mm] 5\times300 [/mm] kommen 1500 l raus!
Was ist denn jetzt falsch?
Vielen Dank für eure Hilfe
MilkyLin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo MilkyLin,
f'(x) ist nicht 300x sondern "nur" 300 - und der Wert 300 wird über das Intervall von 0 bis 5 integriert.
wobei die 300 den Wert für die Durchflussmenge Q und 0-5 das Intervall für die Zeit t darstellt.
[mm] Q(t)=\integral_0^5{300\ dt}=\left[300\ t\right]_0^5=1500
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Hallo Herby,
warum fehlt denn aber das x bei der 300? Ich hatte hier schonmal eine Frage gepostet zum Thema Geldbilanz. Da hiess es:
Es werden o,5 Euro/h ausgegeben, also ist f'(x) = 0,5x
Die Einheiten Euro/Stunde wurden also unter x bezeichnet.
Bei dieser Aufgabe heisst es ja nun: 300l/min. Es müsste doch wieder nach dem selben Schema gehen; die l/min wegstreichen und ein x an die Stelle?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar (Schreibe morgen die Klausur...)
Liebe Grüsse
MilkyLin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo MilkyLin,
da ist ja deine Frage berechtigt - den anderen Thread schau ich mir noch mal an!
> Hallo Herby,
>
> warum fehlt denn aber das x bei der 300? Ich hatte hier
> schonmal eine Frage gepostet zum Thema Geldbilanz. Da hiess
> es:
>
> Es werden o,5 Euro/h ausgegeben, also ist f'(x) = 0,5x
fast richtig: es sind aber [mm] 0,5\bruch{Euro}{h}*x [/mm] wobei das x in Stunden h angegeben wird.
Mit x=3h wären es dann [mm] 0,5\bruch{Euro}{h}*3h=1,5Euro
[/mm]
> Die Einheiten Euro/Stunde wurden also unter x bezeichnet.
> Bei dieser Aufgabe heisst es ja nun: 300l/min.
und wo willst du dann deine 0-5 min unterbringen, wenn das x schon belegt ist? 
> Es müsste doch wieder nach dem selben Schema gehen; die l/min
> wegstreichen und ein x an die Stelle?
eigentlich schon, wie gesagt - ich schaue nochmal
> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar (Schreibe morgen
> die Klausur...)
>
> Liebe Grüsse
> MilkyLin
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Hallo Herby!
Was ich nicht verstehe: Was meinst du mit x besetzt?
f'(x)= 300 [mm] \times [/mm] x . Für x setzt man dann die Zeit ein: also in diesem Falle fünf Minuten, weil man ja rausfinden will, wieviel l Wasser nach fünf Min sich im Becken befinden.
Also ist doch das x richtig?
:( Hilfe...
MilkyLin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
in dem anderen Thread ist der Betrag linear angestiegen um 0,5, aber hier bleibt die Durchflussmenge gleich, deshalb kein x.
die 10 Euro standen ja auch ohne x da, gelle 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Hallo Herby!
Ja, der Durchfluss steigt zwar nicht linear an, aber trotzdem ist ja nach fünf Minuten nicht die selbe Menge an Wasser enthalten wie nach 10 Min z.B. ...
MilkyLin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
So, also ich treibe dich hier langsam bestimmt zur Verzweiflung. Tut mir auch ehrlich leid, aber ich VERSTEHE ES IMMER NOCH NICHT :'(
Bei der Geldbilanz hiess es ja auch 0,5Euro/h . Da haben wir dann also x draus gemacht, weil man ja wissen wollte, wieviel nach 48 Stunden an Geld einkommt.
Bei der Wassermenge müsste es doch genauso sein. Wir haben die Durchflussfunktion: 300l/min . Also müssten wir doch wieder 300 l [mm] \times [/mm] x rechnen, x steht wieder für die Zeit in Minuten.
f'(x) müsste doch dann 300 [mm] \times [/mm] x sein..............................
...ob ich es bis zur Arbeit morgen wohl irgendwann noch verstehen werde? :'(
MilkyLin die inzwischen verzweifelt ist und nach der MilkaSchokolade sucht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> So, also ich treibe dich hier langsam bestimmt zur
> Verzweiflung. Tut mir auch ehrlich leid, aber ich VERSTEHE
> ES IMMER NOCH NICHT :'(
hoffentlich ist es nicht anders herum ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]")
> Bei der Geldbilanz hiess es ja auch 0,5Euro/h . Da haben
> wir dann also x draus gemacht, weil man ja wissen wollte,
> wieviel nach 48 Stunden an Geld einkommt.
nein, bei der Geldbilanz hieß es 10 Euro + alle 2 Stunden 1 Euro
und wenn du dir die Summenformel von Steffi genau anschaust, dann wirst du wahrscheinlich 1. feststellen, dass hier der Geldzufluss tatsächlich ansteigt (im Gegensatz zu unserer Funktion 300 l/min ) und 2. sogar herausfinden, warum man mit 47*48 nicht weit kommt
>
> Bei der Wassermenge müsste es doch genauso sein. Wir haben
> die Durchflussfunktion: 300l/min .
und die sind [mm] \text{konstant} [/mm] - das ist der Unterschied
> Also müssten wir doch
> wieder 300 l [mm]\times[/mm] x rechnen, x steht wieder für die Zeit
> in Minuten.
tun wir auch aber erst [mm] \text{nach} [/mm] der Integration
> f'(x) müsste doch dann 300 [mm]\times[/mm] x
> sein..............................
nein, das ist F(x)
> ...ob ich es bis zur Arbeit morgen wohl irgendwann noch
> verstehen werde? :'(
das hoffe ich und glaube ich und denke ich und weiß ich und .....
> MilkyLin die inzwischen verzweifelt ist und nach der
> MilkaSchokolade sucht...
essen und denken geht doch gar nicht zusammen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
So.
Ich versuche jetzt ernsthaft ruhig zu bleiben , werde gerade verdammt unruhig und ungeduldig mit mir selber. Gleich werde ich mir mal Meditationsmusik anhören...
Also. Zum Thema. Bitte auf die Funktion von Steffi nicht eingehen, hab ich eh nicht verstanden und irritiert mich sonst noch mehr.
Also. Ich gebe mal das wieder, was ich von dem verstanden hast, was du mir schon die ganze Zeit versuchst tapfer zu erklären.
1. F(x) = [mm] 300\times [/mm] x.
2. Die uns vorliegende Funktion ist konstant. Die mit der Geldbilanz nicht, die ist linear ansteigend.
Also, du meinst, F(x)= [mm] 300\times [/mm] x. Diese Funktion gibt doch aber gerade an, wie sich die Menge an Wasser mit der Zeit ändert. Also gibt sie doch an, wie die Menge an Wasser steigt (oder auch nicht) . Aber sowas gibt doch ansonsten immer die erste Ableitung einer Funktion an, wie etwas steigt/wächst/sich senkt/ usw.
Heute ist ein doofer Tag...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> So.
>
> Ich versuche jetzt ernsthaft ruhig zu bleiben , werde
> gerade verdammt unruhig und ungeduldig mit mir selber.
> Gleich werde ich mir mal Meditationsmusik anhören...
Alan Parsons Projekt oder Vangelis tun's vielleicht auch
> Also. Zum Thema.
ok
> Bitte auf die Funktion von Steffi nicht
> eingehen, hab ich eh nicht verstanden und irritiert mich
> sonst noch mehr.
auch ok - aber wenn mal Zeit ist, dann drübergucken, ne!
> Also. Ich gebe mal das wieder, was ich von dem verstanden
> hast, was du mir schon die ganze Zeit versuchst tapfer zu
> erklären.
>
> 1. F(x) = [mm]300\times[/mm] x.
ja
> 2. Die uns vorliegende Funktion ist konstant. Die mit der
> Geldbilanz nicht, die ist linear ansteigend.
ja, denn eine lautet: f(x)=300
und die andere: f(x)=0,5x+10
> Also, du meinst, F(x)=[mm]300\times[/mm]x. Diese Funktion gibt
> doch aber gerade an, wie sich die Menge an Wasser mit der
> Zeit ändert.
ja
> Also gibt sie doch an, wie die Menge an Wasser
> steigt (oder auch nicht).
in Abhängigkeit der Zeit, ja - diese Stammfunktion ist auch linear
> Aber sowas gibt doch ansonsten
> immer die erste Ableitung einer Funktion an, wie etwas
> steigt/wächst/sich senkt/ usw.
Damit ist ein anderer Zuwachs gemeint - ich finde aber gerade keine passende Erklärung dafür, vielleicht kann das ein anderes Mitglied übernehmen, bis mir was einfällt (ein anschauliches Beispiel halt)
so lange muss ich dich vertrösten ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
> Heute ist ein doofer Tag...
ach was
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Hallo Herby,
du hast dir echt viel Zeit für mich genommen, vielen Dank!
Ich werde gleich mal meinen Lehrer anrufen und mir nochmal so alles durchlesen, was du geschrieben hast, vielleicht geht mir ja doch ein Licht auf.
Lieben Dank für deine Hilfe
MilkyLin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Aber sowas gibt doch ansonsten
> immer die erste Ableitung einer Funktion an, wie etwas
> steigt/wächst/sich senkt/ usw.
Herby schrieb ja:
[...] Damit ist ein anderer Zuwachs gemeint - ich finde aber gerade keine passende Erklärung dafür, vielleicht kann das ein anderes Mitglied übernehmen, bis mir was einfällt (ein anschauliches Beispiel halt)
so lange muss ich dich vertrösten
[...]
Im Prinzip hast du recht, die Ableitung gibt die Steigung der Tangente am Graphen an, das heisst die Änderung der Funktionswerte von f.
Da jetzt aber ein konstanter , das heisst, ein sich nicht ändernder Zufluss von 300 [mm] \bruch{l}{min} [/mm] hinzuströmt muss die Ableitung f'(x) konstant sein, also von x unabhängig.
In diesem Fall sind es gleichbleibende 300 [mm] \bruch{Liter}{Minute}, [/mm] so dass gilt f'(x)=300
Jetzt klarer?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hi Marius,
ja ja, mit wenigen Worten ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
lg
Herby
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Hallo Marius!!
Ich glaube....ich habe es gerade tatsächlich verstanden :D:D:D
Also, hier ist noch eine andere, ähnliche Aufgabe. Ich gehe nur mal kurz auf sie ein, als Test, ob ich es wirklich verstanden habe....
Aufgabe: Ein leeres Becken wird über ein Zulaufrohr mit Wasser gefüllt. Dabei steige 5 sek lang die Zulaufgeschwindigkeit v(t) auf 10 l/s an und bleibt schliesslich 20 min konstant. Dann wird ein Zulaufrohr geschlossen, sodass kein Wasser mehr zufliessen kann. Stattdessen wird ein Abfluss geöffnet, aus dem das Wasser mit konstanter Geschwindigkeit von 5 l/s ausströmt.
Also so wie ich es verstanden habe, ist f'(x)=10 [mm] \times [/mm] x, weil die Zulaufgeschwindigkeit ja erst ansteigt, also nicht konstant ist, anders als bei der vorherigen Aufgabe.
Richtig soweit?
Was mich aber bisschen durcheinander bringt, ist, dass die Zulaufgeschwindigkeit nach einer Zeit plötzlich konstant bleibt...
Liege ich denn soweit richtig??
Liebe Grüsse
MilkyLin
Edit : So, Tippfehler korrigiert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
Es sollte natürlich heissen 10 MAL x!! Aber gerade jetzt ist Herby mt meinem Text beschäftigt, deshalb kann ich nicht ran...Herby, hoffentlich liest du das bevor du antwortest!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich hatte mich damit beschäftigt, denke aber lieber erst noch drauf rum
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius!!
>
> Ich glaube....ich habe es gerade tatsächlich verstanden
> :D:D:D
>
> Also, hier ist noch eine andere, ähnliche Aufgabe. Ich gehe
> nur mal kurz auf sie ein, als Test, ob ich es wirklich
> verstanden habe....
>
> Aufgabe: Ein leeres Becken wird über ein Zulaufrohr mit
> Wasser gefüllt. Dabei steige 5 sek lang die
> Zulaufgeschwindigkeit v(t) auf 10 l/s an und bleibt
> schliesslich 20 min konstant. Dann wird ein Zulaufrohr
> geschlossen, sodass kein Wasser mehr zufliessen kann.
> Stattdessen wird ein Abfluss geöffnet, aus dem das Wasser
> mit konstanter Geschwindigkeit von 5 l/s ausströmt.
>
> Also so wie ich es verstanden habe, ist f'(x)=10[mm]\times[/mm] x,
> weil die Zulaufgeschwindigkeit ja erst ansteigt, also nicht
> konstant ist, anders als bei der vorherigen Aufgabe.
>
> Richtig soweit?
Fast, wenn die zulaufmenge konstant bei 10 (welche Einheit auch immer) liegt, ist f'(x)=10x
>
> Was mich aber bisschen durcheinander bringt, ist, dass die
> Zulaufgeschwindigkeit nach einer Zeit plötzlich konstant
> bleibt...
>
> Liege ich denn soweit richtig??
Yep, bis auf das x, das da nicht hingehört
Aber du hast dir in sofern ein schlechtes Beispiel gewählt, dass die Funktion sich mittendrin ändert.
Im Prinzip kannst du dir folgende "Regel" merken.
Wenn die Änderung einer Grösse von der Zeit unabhängig ist, ist die Ableitung konstant und die Funktion f ist eine Gerade.
Marius
Viel Erfolg morgen ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 31.10.2006 | | Autor: | Herby |
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]")
> Hallo Herby!
>
> Ja, der Durchfluss steigt zwar nicht linear an, aber
> trotzdem ist ja nach fünf Minuten nicht die selbe Menge an
> Wasser enthalten wie nach 10 Min z.B. ...
hier kannst du ja das Intervall variieren und dafür hast du dein x
Wenn du einen konstanten Wert hast z.B. unsere 300 l/min, dann ist nach einer min 300 l in der Wanne und nach 2 min 600 l usw.
Das geht nach der Form F(x)=300*x - das ist also deine STAMMFUNKTION.
Die Ableitung von F(x) ist dann [F(x)]'=300=f(x)
und damit ist [mm] \integral_0^c{f(x)\ dx}=\integral_0^c{300\ dx}=\left[\ 300*x\right\ ]_0^c
[/mm]
Jetzt klarer?
lg
Herby
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