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Der zweidimensionale Zufallsvektor [mm](X,Y)^T[/mm] besitzt folgende Verteilung
[mm]\begin{pmatrix}
& x_1=1 & x_2=2 & x_3=3 & x_4=4 & p_*_Y\\
y_1=-1 & 0,1 & 0,25 & 0 & 0,15 & 0,5 \\
y_2=1 & 0,15 & 0,2 & 0,1 & 0,05 & 0,5 \\
p_X_* & 0,25& 0,45& 0,1& 0,2
\end{pmatrix}
[/mm]
Berechnen Sie die Randverteilungen, cov(X,Y) und die Verteilung von [mm]Z = X^2 + Y^2[/mm]
Meine Lösung:
Randverteilungen: [mm]p_i_* = \summe_{j=1}^{n}p_i_j[/mm]
also z.B. [mm]P(X = 1) = p_1_* = [/mm]0,1 + 0,15 = 0,25
hab den Rest einfach nur oben mit in die Tabelle geschrieben
cov(X,Y) = E(XY) - E(X)[mm]*[/mm]E(Y)
E(X) = [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i*p_i[/mm]
also: E(X) = 0,25*1+0,45*2+0,1*3+0,2*4 = 2,25
und E(Y) = 0
[mm]\begin{pmatrix}
XY = & -1 & -2 & -3 & -4 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
w(XY) = & 0,1 & 0,25 & 0 & 0,15 & 0,15 & 0,2 & 0,1 & 0,05 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
daraus ergibt sich E(XY) = - 0,15
cov(X,Y) = - 0,15 - 0 * 2,25 = - 0,15
[mm] Z = X^2 + Y^2 = \begin{cases}
0,25 & : x = -1 \\
0,3125 & : x = 1 \\
0,2025 & : x = 2 \\
0,001 & : x = 3 \\
0,04 & : x = 4 \\
0 & : sonst \\
\end{cases}[/mm]
Ich denke mal, hier hab ich irgendwas falsch gemacht! Irgendwer nen Tipp für mich? Habe z.B. für x = 1: [mm]P(X=1)^2 + P(Y=1)^2[/mm] gerechnet...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tobias!
> Der zweidimensionale Zufallsvektor [mm](X,Y)^T[/mm] besitzt folgende
> Verteilung
>
> [mm]\begin{pmatrix}
& x_1=1 & x_2=2 & x_3=3 & x_4=4 & p_*_Y\\
y_1=-1 & 0,1 & 0,25 & 0 & 0,15 & 0,5 \\
y_2=1 & 0,15 & 0,2 & 0,1 & 0,05 & 0,5 \\
p_X_* & 0,25& 0,45& 0,1& 0,2
\end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> Berechnen Sie die Randverteilungen, cov(X,Y) und die
> Verteilung von [mm]Z = X^2 + Y^2[/mm]
>
> Meine Lösung:
>
> Randverteilungen: [mm]p_i_* = \summe_{j=1}^{n}p_i_j[/mm]
>
> also z.B. [mm]P(X = 1) = p_1_* = [/mm]0,1 + 0,15 = 0,25
> hab den Rest einfach nur oben mit in die Tabelle
> geschrieben
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> cov(X,Y) = E(XY) - E(X)[mm]*[/mm]E(Y)
>
> E(X) = [mm]\summe_{i=1}^{n}x_i*p_i[/mm]
>
> also: E(X) = 0,25*1+0,45*2+0,1*3+0,2*4 = 2,25
> und E(Y) = 0
>
> [mm]\begin{pmatrix}
XY = & -1 & -2 & -3 & -4 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
w(XY) = & 0,1 & 0,25 & 0 & 0,15 & 0,15 & 0,2 & 0,1 & 0,05 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> daraus ergibt sich E(XY) = - 0,15
>
> cov(X,Y) = - 0,15 - 0 * 2,25 = - 0,15
alles richtig.
>
> [mm]Z = X^2 + Y^2 = \begin{cases}
0,25 & : x = -1 \\
0,3125 & : x = 1 \\
0,2025 & : x = 2 \\
0,001 & : x = 3 \\
0,04 & : x = 4 \\
0 & : sonst \\
\end{cases}[/mm]
>
> Ich denke mal, hier hab ich irgendwas falsch gemacht!
> Irgendwer nen Tipp für mich? Habe z.B. für x = 1: [mm]P(X=1)^2 + P(Y=1)^2[/mm]
> gerechnet...
Nein, das stimmt so nicht. Wenn $Z$ den Wert 1 annehmen soll, musst Du sämtliche Kombinationen von $X$ und $Y$ berücksichtigen mit der Eigenschaft [mm] $X^2+Y^2=1$. [/mm] Also [mm] $P(Z=1)=P(X^2+Y^2=1)$. [/mm] Da $X$ mit Wkt. 1 Werte annimmt, die größer gleich 1 sind und [mm] $Y^2$ [/mm] mit Wkt. 1 (also immer) den Wert 1 annimmt, ist aber $P(Z=1)=0$. Du kannst nun so vorgehen, dass Du für jedes Paar [mm] $(x_i,y_j)$ [/mm] schaust, was [mm] $x_i^2+y_j^2$ [/mm] ergibt und anschließend jeweils die zugehörigen Wkt. addieren, die zum selben Ergebnis führen. Z.B. ist
[mm]P(Z=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)=P(X=1)=0.25.[/mm]
Ich denke, Du wirst das System schnell durchschauen. Entscheidend ist zu überlegen, welche Werte $Z$ überhaupt annehmen kann.
Viele Grüße
Brigitte
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hab vielen Dank!
So kommt dann wenigstens auch bei Z eine 1 raus, wenn man die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert! 
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