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| Aufgabe | X sei eine gleichverteilte ZV mit der Dichtefunktion:
[mm] \[ f_X(x)= \begin{cases} \bruch{1}{3}, & \mbox{für } 1 \le x \le 4 \\ 0, & \mbox{sonst } 0 \end{cases}
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Dichtefunktion [mm] g_Y(y) [/mm] der ZV [mm] Y=e^X. [/mm] |
Hallo liebes Forum ;)
So ich habe prinzipiell mit Dichtefkt. etc überhaupt kein Problem, aber wir haben zu diesem Aufgabentyp nichts im Skript stehen und ich komme auf keinen grünen Zweig.
Bei einer ähnlichen Aufgabe, wo [mm] $Y=\wurzel{X}$ [/mm] war, habe ich in der Dichtefunktion [mm] $f_X(x)$ [/mm] x durch y ersetzt, also die Dichtefunktion war
[mm] $f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}$ [/mm]
und ich habe mit [mm] y^2=x [/mm] meine neue Dichtefkt:
[mm] $f_Y(y)=\bruch{1}{(1+y^2)^2}$ [/mm] definiert. Die Lösung sollte stimmen, da die Fläche unter $f(y)$ insgesamt genau 1 ergibt durch den arctan(y).
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist nun aber einfach vom Verständnis her, was ich tun soll, wenn ich einen konst. Wert habe. Da die Dichtefkt. immer 1/3 im besagten Intervall annimmt, muss das ja auch für [mm] $g_Y(y)$ [/mm] gelten. Daher habe ich als Ansatz wieder das x durch y ausgedürckt, diesmal aber im Intervall. Da die Angabe ja lautet [mm] $Y=e^X$, [/mm] gilt ja: $ln(Y)=X$ und damit habe ich mir die Dichtefkt:
[mm] $g_Y(y)= \begin{cases} \bruch{1}{3}, & \mbox{für } e \le y \le e^4 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
definiert. DIes kann aber nicht stimmen, da die Fläche eben nicht 1 ist, sondern 17...
Ich wüsste einfach gerne, wie man überhaupt mathematisch sauber hier vorgeht bzw. was man eigentlich tun muss. Denn X und Y sind ja meine ZV, also sogesehen nur Funktionen, die jedem Elementarereignis [mm] $\omega$ [/mm] eine reale Zahl zuordnen, wohingegen meine Dichten wiederrum Funktionen sind, die jedem Wert der ZV X eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Ich habe hier aber nur Dichten gegeben, also muss ich aus der Angabe [mm] $Y=e^X$ [/mm] ja irgendwie auf meine Dichtefunktion $f(X)$ rückschließen können. Nur wüsste ich hier nicht wie.
EDIT:
Habe eben in meinem Buch einen Transformationssatz gefunden, der eventuell genau hier gilt, auch wenn wir den mitnichten in der VL hatten:
[mm] $f_Y(y)=f_X(x)\vmat{ dx \\ dy }$ [/mm] Muss ich den benutzen?
JA das scheint zu funktionieren, auch wenn ich dann die erste Aufgabe falsch gemacht habe, aber mit diesem Satz erhalte ich für die Dichtefunktion:
[mm] $f_X(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}$ [/mm] die neue Dichtefkt:
[mm] $f_Y(y)=f_X(y^2)2y=\bruch{1}{(1+y^2)^2}2y$ [/mm] und als Verteilungsfunktion
[mm] $F_Y(y)=-\bruch{1}{y^2+1}+1$ [/mm] und da kommt auch 1 als Fläche heraus. Jetzt habe ich nur ein VZ-Problem, da eine Dichtefunktion schwerlich negativ sein kann, aber vllt war deshalb die Transformation mit Betrag angegeben...Dann habe ich fast das korrekte Ergebnis, weil ich zwar x durch y ausgedrückt habe, aber nicht wusste, dass dazu noch eine Ableitung kommt, woher auch...
Also für meine Aufgabe hätte ich jetzt eine Dichtefkt [mm] $g_y$ [/mm] von:
[mm] $g_y(y)=\bruch{1}{3y}$, [/mm] aber die Aufgabe bleibt komisch
Habe diese Frage nur in diesem Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Di 31.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
einfacher ist die folgende Vorgehensweise:
1) Bestimme die Verteilungsfuntion [mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)$ von $X_$.
2) Bestimme die Verteilungsfuntion [mm] $F(y)=P(Y\le y)=P(X\le\ln [/mm] y)$ von $Y_$. Das ist etwas sorglos hingeschrieben, ueberlege dir genau, fuer [mm] $y\in\IR$ [/mm] du argumentierst.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Di 31.01.2012 | | Autor: | Adamantin |
Ja so war wohl die Lösung im letzten Jahr, wusste auch nicht, dass es über die Verteilungsfunktion geht, aber es kommt dasselbe raus, da direkt die Dichtefkt gesucht war, gefällt mir das Vorgehen mit der TRansformationsformel besser, aber danke für den Hinweis mit dem Weg über die Verteilungsfunktion F.
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