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| Aufgabe | X und Y seien unabhängige, gleichverteilte Zufallsvariablen mit Werten in [mm] \IZ. [/mm] Zeigen sie für Z:= X-Y, dass
Ws(Z=z) [mm] \le [/mm] Ws(Z=O) für alle z [mm] \in\IZ [/mm] |
(Die Aufgabe soll mit Skalarprodukt,Cauchy-Schwarz-Ungleichung lösbar sein??, glaub ich)Weiß aber leider nicht wie?Wäre um jeden Tip dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> X und Y seien unabhängige, gleichverteilte Zufallsvariablen
> mit Werten in [mm]\IZ.[/mm] Zeigen sie für Z:= X-Y, dass
>
> Ws(Z=z) [mm]\le[/mm] Ws(Z=O) für alle z [mm]\in\IZ[/mm]
>
> (Die Aufgabe soll mit
> Skalarprodukt,Cauchy-Schwarz-Ungleichung lösbar sein??,
> glaub ich)Weiß aber leider nicht wie?Wäre um jeden Tip
> dankbar!
Schau dir doch mal den normierten Vektorraum [mm] $\ell^2(\IZ) [/mm] = [mm] \{ (a_n)_{n\in\IZ} \in \IR^\IZ \mid \sum_{n\in\IZ} |a_n|^2 < \infty \}$ [/mm] mit der Norm [mm] $\parallel (a_n)_n \parallel [/mm] := [mm] \left( \sum_{n\in\IZ} |a_n|^2 \right)^2$. [/mm] Diese Norm wird durch das Skalarprodukt [mm] $\langle (a_n)_n, (b_n)_n \rangle [/mm] = [mm] \sum_{n\in\IZ} a_n b_n$ [/mm] induziert.
Weiterhin betrachte den Operator $S(z) : [mm] \ell^2 \to \ell^2$, $(a_n)_n \mapsto (a_{n+z})_n$; [/mm] dieser ist Normerhaltend, also [mm] $\parallel S(z)((a_n)_n) \parallel [/mm] = [mm] \parallel (a_n)_n \parallel$ [/mm] fuer alle [mm] $(a_n)_n \in \ell^2$.
[/mm]
Und jetzt schau dir mal die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n [/mm] := P(X = n) = P(Y = n)$ an. Es ist $P(Z = z) = P(X - Y = z) = [mm] \langle S(z)((a_n)_n), (a_n)_n \rangle$ [/mm] (rechne das mal nach).
Insbesondere ist $P(Z = 0) = [mm] \langle (a_n)_n, (a_n)_n \rangle [/mm] = [mm] \parallel (a_n)_n \parallel^2$.
[/mm]
So. Jetzt rechne mal $P(Z = 0)$ aus. Und wende mal die Ungleichung von Cauchy-Schwarz auf $P(Z = k)$ an.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Do 25.05.2006 | | Autor: | Snapper |
argencia..yo hast du die Aufgabe schon gelöst??
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ne, bin noch am knobbeln!! Wenn ich die Lösung hab, stelle ich sie hier rein!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 25.05.2006 | | Autor: | Snapper |
Dank dir. Sehr nett von dir.
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